1.对于最小生成树的任何一条边e，将它去掉后形成两个集合u和v，则e是u，v两集合间所有边中最小的（假设不是，则可以把e去掉换成一条更小的边，从而形成一棵更小的生成树，矛盾）
2.在最小生成树中的第K长边是所有生成树中第K长边的最短边。设该边为e，将它去掉后形成两个集合u和v，若是生成树，那么在u和v间一定有边，所以加上一条边要比e大，此时将新生成树的边排序，在最小生成树中比e大的边有k-1条，加上新添的，比e大的一共有k条，所以新生成树中第K长边大于e。
3.次小生成树可由最小生成树换一条边得到
证法一 ：可以证明下面一个更强的结论：T是一棵最小生成树，T0是一棵异于T的树，通过变换 T0 ---> T1 ---> T2 ---> ...... ---> Tn(T)变成最小生成树。所谓的变换是，每次把Ti中的某条边换成T中的一条边，而且树T(i+1)的权值小于T(i)的权值。
具体操作是 ： ① 在 T(i)中任取一条不在T中的边e
② 把e去掉，剩下两个连通分量u，v，在T中必有唯一的边e1连接u和v
③ 显然e1的权比e小，将e换为e1即可得树T(i+1)
特别的取T0为任一棵次小生成树，T(n-1)也就是次小生成树且跟T差一条边，得证。
证法二：设T，T1为原图的最小生成树和次小生成树，由定义，不存在权值介于T和T1间的树，设T的边E(T) ={e1,e2,e3.....en}，且边按权值从小到大排列，T1的边集E(T1)={f1,f2,f3......fn},且边按权值从小到大排列，设k是第一个使ek不等于fk的下标，显然有ek<fk(若不是的话由最小生成树kruskal的执行过程，先扫描到fk，后扫描到ek，且fk也连接了两个不同的集合，所以会选择fk，矛盾)，将ek加入到T1中形成一个环，该环上只有唯一的一条边fj大于ek，否则，用ek替换该环上比ek大的边会形成权值不同且小于T1的树，因为权值比T1还小的数只有T，所以矛盾，所以将ek替换fj后得到最小生成树T，得证。
4.次小生成树算法
一种容易想到的方法是枚举删除最小生成树上的边，再求最小生成树(前提是去掉一条边后剩下的边还能形成树)，所得的最小值即为次小生成树的权值。但复杂度高，相当于运行了n次最小生成树算法。
但有一种更简单的方法：先求最小生成树T，枚举添加不在T中的边，则添加后一定会形成环。找到环上边值第二大的边(即环中属于T中的最大边)，把它删掉，计算当前生成树的权值，取所有枚举修改的生成树的最小值，即为次小生成树。
这种方法在实现时有更简单的方法：首先求最小生成树T，并用一个二维数组max[u][v]记录结点u到结点v的路劲上边的最大值(即最大边的值)。然后枚举不在T中的边(u,v)，计算T- max[u][v] + w(u,v)的最小值，即为次小生成树的权值。对于max数组可以在prim的加边过程中不断更新，算法的具体实现见http://blog.csdn.net/kidgin7439/article/details/9852017