最近在看这一部分的内容，想把定理及自己想的一些证明都整理一下，欢迎指正和补充~~（G为无向图）
① 若G中无孤立顶点，则存在一个支配集V1，使得G中除V1外的所有顶点也组成一个支配集。 （从某顶点开始，将它标为1，与它相邻的标为2，与2相邻的标为1，标过的不用再标，直到标完，则集合1与集合2满足这一性质）
② 若G中无孤立顶点，V1为极小点支配集，则G中除V1外的顶点集合V2也组成一个支配集。 （对于V1中任意顶点，只有两种情况，与V2邻接和不与V2邻接，假设都邻接，那么V2是支配集，得证，假设某顶点x不与V2邻接，则对于V1，若去掉点x，它仍是支配集，与它是极小的矛盾，得证）
③一个独立集是极大独立集当且仅当它是一个支配集。 （先从左到右，一个极大独立集V1，由定义，若再添加顶点，则不独立，即与V1中的点邻接，满足支配集定义，得证；从右到左，一个独立集V1是支配集，则对于任何不属于V1的顶点，都与V1中顶点邻接，所以是极大的。）
④ 若无向图G中无孤立顶点，则G的极大点独立集都是G的极小支配集，逆命题不一定成立。 （由③，该极大点独立集V1是支配集，假设不是极小的支配集，则可以去掉V1中的某顶点x使V1仍为支配集，则说明x与（V1-x）邻接，与它是个独立集矛盾，得证）
⑤ 若G中无孤立顶点，则V1是G的点覆盖当且仅当V2=（G-V1）是G的点独立集。 （从左到右，若V1是点覆盖，则G中的边要么是两端点都属于V1，要么是一个属于V1，一个属于V2，不存在两个端点都属于V2的情况，所以V2是一个点独立集；从右到左，V2是点独立，所以不存在两个端点都属于V2的情况，所以V1是点覆盖）
推论：若G是n阶无孤立顶点的图，则V1是G的极小（最小）点覆盖集，当且仅当V2=（G-V1）是G的极大（最大）点独立集，从而有 点覆盖数+点独立数=n。（由⑤可知，只需证明极小极大即可，从左到右，因为V1是极小的点覆盖，则对于V1中的任意点x，若将它去掉，添加到V2中，则V1不是点覆盖，即存在某条边，两端点都属于新V2，所以V2是极大点独立集，因为不能再往里添加了，从右到左，V2是极大点独立集，则对于V1中的任意点x，若将它去掉，添加到V2中，V2不独立，即存在两端点都属于新V2，此时的新V1则不是点覆盖，即原来的V1是极小的。）