1. 概念
二叉树是有限个结点的集合，这个集合或者是空集，或者由一个根节点和两棵不相交的二叉树组成，其中一棵叫做根的左子树，另一棵叫做根的右子树。
满二叉树是高为k且有2^k - 1个结点的二叉树。
完全二叉树是具有下述性质的二叉树：
a. 所有叶结点都在k或者k-1层
b. k-1层的所有叶结点都在非终结符结点的右边
c. 只有k-1层最右非终结结点可能有一个叶子结点
2. 性质
- 性质1：在二叉树中第i层的结点数量最多为2^(i-1)
- 性质2：高度为k的二叉树其结点数最多为2^k - 1
- 性质3：如下图
3. 基本操作
| 操作 | 解释 |
|---|---|
| Empty(BT) | 建立一棵空的二叉树 |
| IsEmpty(BT) | 为空则返回TRUE |
| CreateBT(v,LT,RT) | 建立新树，根值为v，另外为左右子树 |
| Lchild(BT) | 返回左儿子 |
| Rchild(BT) | 返回右儿子 |
| Data(BT) | 返回根节点数据预的值 |
4. 遍历方式
假设图如下：
-
先根遍历：A B D H I E J C F G
-
中根遍历：H D I B J E A F C G
-
后根遍历：H I D J E B F G C A
-
给出先根遍历代码：
void PreOrder(BTREE BT)
{
if(!IsEmpty(BT)) {
visit(Data(BT)); //中根遍历放中间，后根遍历同理
PreOrder(Lchild(BT));
PreOrder(Rchild(BT));
}
}
5. 二叉树的实现
5.1 左右链表示
- 示意图：
- 代码实现：
struct node {
node *lchild;
datatype data;
node *rchild;
};
typedef node * BTREE;
BTREE CreateBT(datatype v, BTREE ltree, BTREE rtree)
{
BTREE root;
root = new node;
root->data = v;
root->lchild = ltree;
root->rchild = rchild;
return root;
}
5.2 游标表示
- 示意图：
- 代码实现：
struct {
int lchild;
int rchild;
} cellspace[maxnodes];
/*
cellspace[i].lchild是结点i的左儿子，
如果为-1，表示没有相应的儿子，
图中可以看出
*/
5.3 线索二叉树
-
概念：在左右链的表示法中，具有n个结点的树需要2n个指针，必然会造成浪费，故利用浪费的指针指向有用的地方。
- 当某个结点的lchild为空时，则令其指向该结点的中根遍历的前导结点
- 若rchild为空，则指向中根遍历的后续结点
-
示意图
- 代码实现：
struct node{
node *lchild;
node *rchild;
boolean ltag;
boolean rtag;
infotype info;
};
- 规则
- 若P的左子树为空，则令P->ltag=FALSE，且P->lchild=$P
- 若P的左子树不为空，则令P->ltag=TRUE，且P->lchild=左子树的根
- 若P的右子树为空，则令P->rtag=FALSE，且P->rchild=P$
- 若P的右子树不为空，则令P->rtag=TRUE，且P->rchild=右子树的根
$P表示P在中根遍历序列中的前导结点
- 特殊情况
线索二叉树总是由低的位置指向高的位置。在中序遍历第一个结点H和最后一个结点G，需要建立一个空结点HEAD，让它们的指针指向其，如下：
HEAD->lchild = T; //T是指向根结点的指针
HEAD->rchild = HEAD;
HEAD->ltag = TRUE;
HEAD->rtag = TRUE;
//空二叉树则为：
HEAD->lchild = HEAD;
HEAD->ltag = FALSE;
HEAD->rchild = HEAD;
HEAD->rtag = TRUE;
线索二叉树在对于“给定P,求$P或者P$时特别容易”
5.4 完全二叉树的数组表示法
- 示意图
- 规则
- 若i != 1，则其父亲结点是⌊i/2⌋
- 若i == 1，则i是根结点
- 若2i <= n，则左儿子是2i，若2i > n，则i无左儿子
- 若2i+1 <= n，则右儿子是2i+1，若2i+1 > n，则无右儿子
部分资料来自《数据结构与算法--张岩》