钥匙计数之一

钥匙计数之一

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Problem Description

一把锁匙有N个槽，槽深为1，2，3，4。每锁匙至少有3个不同的深度且至少有1对相连的槽其深度之差为3。求这样的锁匙的总数。

Input

本题无输入

Output

对N>=2且N<=31，输出满足要求的锁匙的总数。

Sample Output

N=2: 0
N=3: 8
N=4: 64
N=5: 360
..
..
..
..
..
..
..

N=31: ...

注：根据Pku Judge Online 1351 Number of Locks或 Xi'an 2002 改编,在那里N<=16

Author

ecjtu_zhousc

 

分析

a[i]表示长度为i的合法的钥匙总数。
b[i]表示第i个槽为1或4时合法的长度为i的合法的钥匙总数。
c[i]表示:不合法的长度为i-1的钥匙X + 最后一个新槽1/4（1或者4的槽）,能够构成合法的长度为i的钥匙时，不合法的长度为i-1的钥匙X的方案数

1、合法的长度为i-1的钥匙 + 任何1个新的槽，所构成的长度为i的钥匙一定是合法的，所以a[i]=a[i-1]*4
。
2、若不合法的长度为i-1的钥匙X + 最后一个新槽2/3（2或者3的槽），要构成合法的长度为i的钥匙，则X必定由1/4（1或者4的槽）的组合构成序列（原因在于后缀2或者3加上就成为钥匙的话，必然是没满足需要3个不同深度槽这一项，故X必然由1/4组成），但需要去除2种情况111....1111(全为1),444....444（全为4），所以
a[I]+=(2^(I-1)-2)*2（为什么是它，因为前i-1个槽均可以是1或4，有这么多种组合方式，减去上述两种特殊情况，即这两种特殊情况下，最后一个新槽为2/3时仍不能构成合法的长度为i的钥匙。之所以乘2，是因为最后一个新槽可以是2，也可以是3）。

3、若不合法的长度为i-1的钥匙X + 最后一个新槽1/4（1或者4的槽）,要构成合法的长度为i的钥匙,设：x=Y(1/4) 即 长度为i-1的钥匙x=长度为i-2的钥匙y+第i-1个槽为1/4(1或者4的槽)
则要在不合法的长度为i-1的钥匙X加上最后1个新槽1/4（1或者4的槽）成为一个合法的长度为i的钥匙，
当且仅当第i-1位的槽是4/1时，加上第i位的1/4槽，才能满足。
（因为不合法的长度为i-1的钥匙X ，要么就不满足具有3个不同的槽，或不满足至少有1对相连的槽其深度之差为3，或同时不满足。要在加上最后1个新槽1/4（1或者4的槽）后成为长度为i的合法的钥匙，只可能是
A、前i-2位是1,2,3,4四种槽的任意组合+第i-1位的4+第i位的1
B、前i-2位是1,2,3,4四种槽的任意组合+第i-1位的1+第i位的4
C、在前两种组合中去掉下面两种情况--无法构成合法的长度为i的钥匙：
   前i-2位是1,4两种槽的任意组合+第i-1位的4+第i位的1
   前i-2位是1,4两种槽的任意组合+第i-1位的1+第i位的4
D、在前两种组合中去掉下面这种情况:
   因为在A情况下，“前i-2位是1,2,3,4四种槽的任意组合+第i-1位的4”包含了长度为i-1的，第i-1位为4的合法的长度为i-1的钥匙X
   在B的情况下“前i-2位是1,2,3,4四种槽的任意组合+第i-1位的1”包含了长度为i-1的，第i-1位为1的合法的长度为i-1的钥匙X
   但第3类的前提是“不合法的长度为i-1的钥匙X”，两者矛盾。因此，要减去第i-1个槽为1或4时合法的长度为i-1的合法的钥匙总数 即b[i-1]
 ）
故第3类中，c[i]==(4^(i-2)-2^(i-2))* 2 - b[i-1];
  所以a[i]+=c[i]

4、修正b[i]
   b[i]表示第i个槽为1或4时合法的长度为i的合法的钥匙总数。
   在求得a[i-1]后可知长度为i-1的合法的钥匙总数。每种方案中增加第i位的1/4槽（1或者4的槽），总是b[i]中数据的一部分。即2*a[i-1]
   在求得c[i]后可知长度为i-1的不合法的钥匙 + 第i位的1/4槽（1或者4的槽）所能构成的合法的长度为i的第i位为1/4槽的钥匙总数，也是b[i]中数据的一部分。即c[i]
   故b[i]=2*a[i-1]+c[i]

 

 

 

 

 

 

#include<stdio.h>

#include<math.h>

int main ()

{

    int        i;

    __int64 c[32], a[32], b[32];    //b[i]记录以1 4结尾的数

    a[2] = 0;

    a[3] = 8;

    b[2] = 0;

    b[3] = 4;

    printf ("N=2: 0
N=3: 8
");

    for (i = 4; i <= 31; i++)

    {

        a[i] = a[i - 1] * 4;

        a[i] += (__int64) pow (2,i) - 4;    //以2 3 结尾的

        c[i] = ((__int64) pow (4,i-2) - (__int64) pow (2, i - 2)) * 2 - b[i - 1];

        a[i] += c[i];

        b[i] = a[i - 1] * 2 + c[i];

        printf ("N=%d: %I64d
", i, a[i]);

    }

    return 0;

}