[LuoguP3978](https://www.luogu.org/problem/P3978) BZOJ4001概率论

BZOJ 4001 概率论

设(f_i)表示i个点的二叉树方案数

立刻有(f_n = sum_{i=0}^{n-1} f_i f_{n-i-1})

设(F(x)为序列f的生成函数，有F(x)^2 = sum_{i=0}^{+infty} sum_{i+j = n} f_i f_j x^i)

可设(g(x) = f(x+1) = sum_{i+j = x} f_i f_j)((G(x)为序列g的生成函数))

有: (G(x) = F(x)^2)， 又有(F(x) = xG(x)+f(0))，所以解得(F(x) = (2x)^{-1} (1-(1-4x)^{frac{1}{2}}))

有二项式定理展开得(F(x) = (2x)^{-1} (1-sum_{i=0}^{+infty} dbinom{frac{1}{2}}{i} (-4)^i)x^i))

考虑化简(sum_{i=0}^{+infty} dbinom{frac{1}{2}}{i} (-4)^i)

由组合数定义可知， (dbinom{frac{1}{2}}{i} (-4)^i = -sum_{i=0}^{+infty} (2i-1)^{-1} dbinom{2i}{i})

原式化简为(F(x) = (2x)^{-1} (1+sum_{i=0}^{+infty} (2i-1)^{-1} dbinom{2i}{i})x^i))，有后式在x=0时取-1，消去前面的1，然后消去2x，可化简为(F(x) = sum_{i=0}^{+infty} frac{1}{4i+2} dbinom{2i+2}{i+1}x^i)，拆去组合数得(F(x) = sum_{i=0}^{+infty} frac{1}{i+1} dbinom{2i}{i} x^i)，即(f_i = frac{1}{i+1} dbinom{2i}{i})

同理设节点数为i的所有二叉树的叶子种数为(h_i)((H(x)为序列的生成函数))，(H(x) = frac{x}{sqrt{1-4x}})，同理得(h_i = dbinom{2i-2}{i-1})，可得(答案=frac{h_i}{f_i}=frac{n(n+1)}{2(2n-1)})

代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std ;
int n; double p ;
int main(){
    scanf("%d",&n) ;
    p = n/1.000000000 ;
    printf("%.9lf",((p)*(p+1)) / (2 * (2*p - 1))) ;
}