[问题2014A04] 复旦高等代数 I（14级）每周一题（第六教学周）

[问题2014A04]  设 (A,B,C,D) 均为 (n) 阶方阵.

(1) 若 (A^2=A), (B^2=B), ((A+B)^2=A+B), 证明: (AB=BA=0).

(2) 若存在正整数 (k), 使得 ((AB)^k=0), 证明: (I_n-BA) 是可逆阵.

(3) 若 (A,D) 和 (D-CA^{-1}B) 均为可逆阵, 证明: (A-BD^{-1}C) 也是可逆阵, 并求其逆阵.