「NOIP2016」愤怒的小鸟
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Description
(Kiana) 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。
简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。有一架弹弓位于 ((0,0)) 处，每次 (Kiana) 可以用它向第一象限发射一只小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如(y=ax^2+bx)的曲线，其中 (a)，(b) 是 (Kiana) 指定的参数，且必须满足 (a<0)。当小鸟落回地面（即 (x) 轴）时，它就会瞬间消失。
在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 (n) 只猪，其中第 (i) 只猪所在的坐标为 ((x_i,y_i))。如果某只小鸟的飞行轨迹经过了((x_i,y_i))，那么第 (i)只猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过((x_i,y_i))，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第(i)只猪产生任何影响。
例如，若两只猪分别位于((1,3))和 ((3,3))，(Kiana) 可以选择发射一只飞行轨迹为 (y=−x^2+4x) 的小鸟，这样两只猪就会被这只小鸟一起消灭。
而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的猪。
这款神奇游戏的每个关卡对来说都很难，所以 (Kiana)还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在「输入格式」中详述。
假设这款游戏一共有 (T) 个关卡，现在(Kiana)想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。
Input Format
下面依次输入这 T 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 (n)，(m) ，分别表示该关卡中的小猪数量和 (Kiana) 输入的神秘指令类型。接下来的 (n) 行中，第 (i) 行包含两个正实数 (x_i)，(y_i)，表示第 (i) 只小猪坐标为 ((x_i,y_i))。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。
如果 (m=0)，表示 (Kiana) 输入了一个没有任何作用的指令。
如果 (m=1) ，则这个关卡将会满足：至多用(lceil n/3+1
ceil)只小鸟即可消灭所有小猪。
如果 (m=2) ，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 $lfloor n/3
floor $ 只小猪。
保证 (1≤n≤18)，(0≤m≤2)，(0＜x_i,y_i＜10)，输入中的实数均保留到小数点后两位。
上文中，符号 分别表示对 c 向上取整和向下取整，例如：
(lceil 2.1
ceil = lceil 2.9
ceil = lceil 3.0
ceil = lfloor 3.0
floor = lfloor 3.1
floor = lfloor 3.9
floor = 3)
Output Format
对每个关卡依次输出一行答案。
输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有猪最少需要的小鸟数量。
simple 1
输入
2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00
输出
1
1
simple 2
输入
3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00
输出
2
2
3
simple 3
输入
1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99
输出
6
Hint
样例解释 1
这组数据中一共有两个关卡。
第一个关卡与「问题描述」中的情形相同，(2) 只猪分别位于 ((1.00,3.00)) 和 ((3.00,3.00))，只需发射一只飞行轨迹为 (y=−x^2+4x) 的小鸟即可消灭它们。
第二个关卡中有 (5) 只猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 (y=−x^2+6x) 上，故 (Kiana) 只需要发射一只小鸟即可消灭所有猪。
数据范围
测试点 (1∼14：2≤n≤12,1≤T≤30)；
测试点 (15∼20：2≤n≤18,1≤T≤5)。
Solution
首先我们 (n≤18) 一看就知道是搜索或者是状压
但是这题我们考虑用状压dp来写
首先根据状压的尿性，我们首先要设计一个状态
我们用(a[i][j])来表示一只能打到第(i)只猪和第(j)只猪的鸟能打到多少只猪
所以每次我们枚举出这一只鸟以后我们可以再用一个(k) 循环来判断还有哪些猪能被这只鸟打到
如果第(k)只猪也能被这只鸟打到，那么(a[i][j]|=(1<<k))(第几位是(1)就表示第几只猪能被这只鸟打到)
但是，问题来了，我们应该如何找出这只鸟呢？
首先，就像题目说的每只鸟说经过的弧线都可以表示成(y=ax^2+bx)
所以我们可以根据题目，列出下面的方程
在看下面的解释之前，请你先会逆矩阵求法，矩阵乘法等数学基础
$ y_1=ax_1^2+bx_1( )y_2=ax_2^2+bx_2$
然后我们把它变成矩阵，就有
$ left[
egin{matrix}
y_1
y_2
end{matrix}
ight]
$ (=) (left[
egin{matrix}
x_1^2& x1\
x_2^2&x2\
end{matrix}
ight]) (×) (left[
egin{matrix}
a\
b\
end{matrix}
ight])
然后就有
$ left[
egin{matrix}
a
b
end{matrix}
ight]
$ (=) (left[
egin{matrix}
x_1^2 & x_1\
x_2^2 & x_2\
end{matrix}
ight]^{-1}) (×) (left[
egin{matrix}
y_1\
y_2\
end{matrix}
ight])
因为
(left[ egin{matrix} x_1^2&x_1\ x_2^2&x_2\ end{matrix} ight]) (=) (x_1^2x_2-x_1x_2^2=(x_1-x_2)x_1x_2)
所以有:
(left[
egin{matrix}
x_1^2&x_1\
x_2^2&x_2\
end{matrix}
ight]^{-1}) (=) (frac{1}{(x_1-x_2)x_1x_2}) (left[
egin{matrix}
x_2& -x_1\
-x_2^2&x_1^2\
end{matrix}
ight]
)
(逆矩阵求法)
于是:
$ left[
egin{matrix}
a
b
end{matrix}
ight]
$ (=) (frac{1}{(x_1-x_2)x_1x_2}) (
left[
egin{matrix}
x_2&-x_1\
-x_2^2&x_1^2\
end{matrix}
ight]
) (×) (left[
egin{matrix}
y_1\
y_2\
end{matrix}
ight]
)
最后，我们再把矩阵拆开：
(a=frac{1}{(x_1-x_2)x_1x_2}×(x_2y_1-x_1y_2))
(b=frac{1}{(x_1-x_2)x_1x_2}×(x_1^2y_2-x_2^2y_1))
最后我们就求出了(a) 和(b) 了
因为(x_1) (x_2) (y_1) (y_2)可以通过枚举知道
然后我们枚举所有状态，再用所有的抛物线去枚举这个状态，假设这个状态为(i)，这个抛物线能消灭的猪是(a[Start][j])，其中(Start)开始的位置我们可以用一个(while)语句来查找，那么用这个抛物线消灭之后变成的状态就是(a[Start][j])，其中(|)是按位或运算。dp方程为(f[i|a[Start][j]]=min(f[i|a[Start][j]],f[i]+1))
最后输出答案(f[(1<<n)-1])
所以本题就结束了......
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define Re register int
using namespace std;
int N,M,T,a[20][20],f[1<<20],Start;
double A,B;
struct info{
double x,y;
}Pig[20];
double fabs(double x){return x>0?x:-x;}
int main(){
scanf("%d",&T);
while (T--){
memset(f,0x3f,sizeof(f));
memset(a,0,sizeof(a));
scanf("%d%d",&N,&M);
for (Re i=0; i<N; ++i) scanf("%lf%lf",&Pig[i].x,&Pig[i].y);
for (Re i=0; i<N; ++i) a[i][i]|=(1<<i);
for (Re i=0; i<N; ++i)
for (Re j=i+1; j<N; ++j)
if (fabs(Pig[i].x-Pig[j].x)>1e-6){
A=(Pig[j].x*Pig[i].y-Pig[i].x*Pig[j].y)/((Pig[i].x-Pig[j].x)*Pig[i].x*Pig[j].x);
B=(Pig[i].y-A*Pig[i].x*Pig[i].x)/Pig[i].x;
if (A>-1e-6) continue;
for (Re k=0; k<N; ++k) if (fabs(A*Pig[k].x*Pig[k].x+B*Pig[k].x-Pig[k].y)<=1e-6) a[i][j]|=(1<<k);
}
f[0]=0;
for (Re i=0; i<1<<N; ++i){
Start=0;
while ((i>>Start)&1) ++Start;
for (Re j=Start; j<N; ++j) f[i|a[Start][j]]=min(f[i|a[Start][j]],f[i]+1);
}
printf("%d
",f[(1<<N)-1]);
}
return 0;
}