公式
《组合数学》里是这样写的：[1]
[X_n={ 1,2, dots ,n }
]
[F: mathcal{P}(X_n)
ightarrow Re
]
[G: mathcal{P}(X_n)
ightarrow Re
]
白话：(F),(G) 都是一个函数，表示每个(X_n)的子集对应一个实数。$mathcal{P}(X_n) $表示全体子集的集合。（数学表达抽象是为了针对普遍情况，可以带入具体的概念去理解）
其中
[G(K)=sumlimits_{L subseteq K }^{} F(L) (K subseteq X_n)
]
特别地（通过莫比乌斯反演），我们有
[F(K)=sumlimits_{L subseteq K }^{} (-1)^{|K|-|L|}G(L) (K subseteq X_n)
]
举例
《组合数学》书本例子[1:1]:（原文真的很讲究）设(A_1,A_2,dots,A_n) 有限集(S) 的子集，(Ksubseteq {1,2,dots,n})。
定义(F(K))表示计数(S)里有多少个元素，不属于所有(K)选中的子集，而且都属于没选中的子集。
于是(G(K)=sumlimits_{L subseteq K }^{} F(L) ) 就表示计数所有不在(K)选中的子集中的的共有元素的个数。要想通这一点有点不直接，可以画个图：（小黑圈表示有这个元素，小蓝圈表示没有。）
也可以这样想，所有不在(K)选中的子集中的的共有元素，是每个(F(L))都会计一次的。知道了这一结论，可以发现(G(K)) 还是蛮好算的，有
[G(K) = left| igcaplimits_{i
otin K }^{} A_i
ight|
]
根据反演公式，有
[F(K)=sumlimits_{L subseteq K }^{} (-1)^{|K|-|L|}G(L)
]
可以把集合表达式带进去，得到
[left| overline{A_1} cap overline{A_2} cap dots cap overline{A_n}
ight| =sumlimits_{L subseteq K }^{} (-1)^{|K|-|L|} left| igcaplimits_{i
otin K }^{} A_i
ight|
]
在等价替换一下，当(K= {1,2,dots,n})时，
[left| overline{A_1} cap overline{A_2} cap dots cap overline{A_n}
ight| =sumlimits_{J subseteq X_n }^{} (-1)^{|J|} left| igcaplimits_{i in J }^{} A_i
ight|
]
这就等价容斥原理（绝了）。
理解可以这样： $left| overline{A_1 cup A_2 cup dots cup A_n} ight| $表示这些子集的并集，取反的元素还有多少个，这个问题容易想到是用容斥解，不过本文是为了引入莫比乌斯反演，表现一下容斥和莫比乌斯反演的关系。
我不想把篇幅弄得太长，太长不太便于阅读，下一篇将正式讲莫比乌斯反演的一些例子。