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使用Copula仿真优化市场风险
此示例演示了使用具有胖尾边缘分布的多变量copula模拟计算投资组合的风险价值和条件风险值（预期缺口）。然后使用模拟来计算最优风险收益组合的有效前沿。
内容
- 导入支持历史数据集
- 可视化标准化价格
- 退货和边际分配
- Copula校准
- Copula模拟
- 计算单周期模拟VaR
- 组合优化
- 以给定的回报水平计算投资组合
导入支持历史数据集
使用Datafeed Toolbox的API导入我们将在本练习中建模的不同资产类别的市场数据
- SPY：大盘美国（标准普尔500指数）
- EEM：新兴市场股票
- TLT：20年期国债（iShares Barclays）
- COY：美国高收益债券
- 普惠制：大宗商品（iPath S＆P GSCI总回报指数）
- RWR：房地产（房地产投资信托指数）
names = { 'SPY'，'EEM'，'TLT'，'COY'，'GSP'，'RWR' };
startPeriod = '2009-10-01' ;
endPeriod = '2013-06-24' ;
[date，prices，ds] = importFeedPrices（names，startPeriod，endPeriod）;
nAssets = length（名字）;
可视化标准化价格
该图显示了每个指数的相对价格走势。每个指数的初始水平已经标准化为统一，以便于比较历史记录中的相对表现。
plot（date，normPrices），datetick（'x'），xlabel（'Date'），ylabel（'Index Value'）;
title（'Normalized Daily Index Closings'）;
退货和边际分配
为准备copula建模，单独描述每个指数的回报分布。虽然每个回归序列的分布可以参数化地表征，但是使用具有广义Pareto尾部的分段分布来拟合半参数模型是有用的。这使用极值理论来更好地表征每个尾部的行为。
return = price2ret（价格）;
以下代码段为每个索引返回系列创建一个paretotails类型的对象。这些Pareto尾部对象封装参数Pareto下尾部，非参数内核平滑内部和参数Pareto上尾部的估计，以为每个索引构建复合半参数CDF。
tailFraction = 0.1;
marginal {i} = paretotails（return（：，i），tailFraction，1 - tailFraction，'kernel'）;
fprintf（'％s的边缘分布： n'，名称{i}）;
SPY的边际分布：
分段分布有3个部分
-Inf <x <-0.0125822（0 <p <0.1）：下尾，GPD（0.0380262,0.0084794）
-0.0125822 <x <0.01286（0.1 <p <0.9）：内插内核平滑cdf
0.01286 <x <Inf（0.9 <p <1）：上尾，GPD（0.0511828,0.00671413）
EEM的边际分布：
分段分布有3个部分
-Inf <x <-0.0186259（0 <p <0.1）：下尾，GPD（-0.00289033,0.0126097）
-0.0186259 <x <0.0185703（0.1 <p <0.9）：内插内核平滑cdf
0.0185703 <x <Inf（0.9 <p <1）：上尾，GPD（0.0326916,0.00981892）
TLT的边际分布：
分段分布有3个部分
-Inf <x <-0.0132814（0 <p <0.1）：下尾，GPD（0.137056,0.00414294）
-0.0132814 <x <0.0128738（0.1 <p <0.9）：内插内核平滑cdf
0.0128738 <x <Inf（0.9 <p <1）：上尾，GPD（0.027114,0.00583448）
COY的边际分布：
分段分布有3个部分
-Inf <x <-0.0105025（0 <p <0.1）：下尾，GPD（0.47441,0.00485515）
-0.0105025 <x <0.011195（0.1 <p <0.9）：内插内核平滑cdf
0.011195 <x <Inf（0.9 <p <1）：上尾，GPD（0.177151,0.00500233）
GSP的边际分布：
分段分布有3个部分
-Inf <x <-0.0161561（0 <p <0.1）：下尾，GPD（-0.0382412,0.0103328）
-0.0161561 <x <0.016506（0.1 <p <0.9）：内插内核平滑cdf
0.016506 <x <Inf（0.9 <p <1）：上尾，GPD（-0.134845,0.00778651）
RWR的边际分布：
分段分布有3个部分
-Inf <x <-0.0172097（0 <p <0.1）：下尾，GPD（-0.00540337,0.0114245）
-0.0172097 <x <0.0168041（0.1 <p <0.9）：内插内核平滑cdf
0.0168041 <x <Inf（0.9 <p <1）：上尾，GPD（0.0302092,0.0117143）
得到的分段分布对象允许在CDF内部进行插值并在每个尾部进行外推（函数评估）。外推允许估计历史记录之外的分位数，这对于风险管理应用是非常宝贵的。在这里，我们将paretoTail分布产生的拟合与正态分布的拟合进行比较。
index = 1;
dist = marginal {index};
CLF
h = probplot（gca，@ dist.cdf）;
set（h，'Color'，'r'）;
title（[ 'Semi-Parametric / Piecewise Probability Plot：' names {index}]）
Copula校准
我们使用统计工具箱功能来校准和模拟数据。
使用每日索引返回，使用函数copulafit估计高斯和t copula的参数。由于在标量自由度参数（DoF）变得无限大时，copula变为高斯copula，因此两个copula实际上属于同一族，因此共享线性相关矩阵作为基本参数。
虽然高斯copula的线性相关矩阵的校准很简单，但是copula的校准不是。出于这个原因，统计工具箱软件提供了两种在copula校准的技术：以下代码段首先通过上面导出的分段半参数CDF将每日居中的回报转换为均匀变量。然后它将Gaussian和t copula拟合到转换后的数据：
[〜，ax] = plotmatrix（U）; title（'拟合Copula之前的转换回报'）;
估算copula的参数。注意从t copula校准获得的相对较低的自由度参数，表明明显偏离高斯情况。
[rho，DoF] = copulafit（'t'，U，'ApproximateML'）
rhoT =
1 0.88229 -0.59693 0.40875 0.58027 0.81485
0.88229 1 -0.52371 0.38906 0.63175 0.73608
-0.59693 -0.52371 1 -0.28404 -0.37285 -0.43114
0.40875 0.38906 -0.28404 1 0.2953 0.36207
0.58027 0.63175 -0.37285 0.2953 1 0.47097
0.81485 0.73608 -0.43114 0.36207 0.47097 1
DoF =
9.5014
估计的相关矩阵与线性相关矩阵相似但不相同
corrcoef（return） 每日收益的％线性相关矩阵
ans =
1 0.89745 -0.61065 0.4677 0.59174 0.83717
0.89745 1 -0.54167 0.45612 0.63322 0.76712
-0.61065 -0.54167 1 -0.30377 -0.3918 -0.44429
0.4677 0.45612 -0.30377 1 0.33312 0.43525
0.59174 0.63322 -0.3918 0.33312 1 0.49161
0.83717 0.76712 -0.44429 0.43525 0.49161 1
Copula模拟
现在已经估计了copula参数，使用copularnd函数模拟联合依赖的均匀变量。
然后，通过外推Pareto尾部并对平滑后的内部进行插值，通过每个索引的逆CDF 将从copularnd导出的均匀变量转换为每日居中返回。这些模拟的居中回报与从历史数据集获得的回归一致。假设回报在时间上是独立的，但在任何时间点都具有由给定的copula引起的依赖性和等级相关性。
nPoints = 10000; ％＃模拟观测值
U = copularnd（'t'，rhoT，DoF，nPoints）; ％从t copula模拟U（0,1）
[〜，ax] = plotmatrix（R）; title（'模拟回报的成对相关'）;
计算单周期模拟VaR
来自copula模型的多变量模拟可用于计算样本组合的风险值和预期不足（CVaR）。
％样本组合组件权重
wts = [.1 .2 .3 .2 .1 .1]';
％从模拟组件返回生成组合返回
portReturns = R * wts;
％计算VaR
var = -prctile（portReturns，1）;
cvar = -mean（portReturns（portReturns <-var））;
％与正态分布比较
R2 = mvnrnd（mean（returns），cov（returns），10000）;
normReturns = R2 * wts;
var2 = -prctile（normReturns，1）;
cvar2 = -mean（normReturns（normReturns <-var2））;
disp（'Copula Value-at-Risk ----------------------'）;
fprintf（'99 %% VaR：％0.2f %% n99 %% CVaR：％0.2f %% n n'，var * 100，cvar * 100）;
disp（'多变量正常风险值---------'）;
fprintf（'99 %% VaR：％0.2f %% n99 %% CVaR：％0.2f %% n n'，var2 * 100，cvar2 * 100）;
Copula风险价值----------------------
99％的风险价值：1.78％
99％CVaR：2.58％
多变量正常风险值---------
99％VaR：1.49％
99％CVaR：1.71％
组合优化
以前，我们使用模拟回报来计算样本组合的风险。相反，我们可以找到一个最佳投资组合（权重），为我们提供一定的回报风险。我们可以使用PortfolioCVaR框架来完成此任务。
p = PortfolioCVaR（'ProbabilityLevel'，。99，'AssetNames'，名称）;
p = p.setScenarios（R）;
p = p.setDefaultConstraints（）;
wts = p.estimateFrontier（20）;
portRisk = p.estimatePortRisk（wts）;
portRet = p.estimatePortReturn（wts）;
CLF
visualizeFrontier（p，portRisk，portRet）;
以给定的回报水平计算投资组合
wt = p.estimateFrontierByReturn（.05 / 100）;
TOC;
pRisk = p.estimatePortRisk（wt）;
pRet = p.estimatePortReturn（wt）;
经过的时间是0.635017秒。
