[物理] 简谐振动

菜到只能学文化课

0.新运动学习提纲

1. 先找出\(\vec{r}(t),\vec{v}(t),\vec{a}(t)\)的解析式
   理解解析式参数的物理意义，与运动画面对应
   分析解析式函数性质，定义域，值域，单调性，周期性等和它们对应的物理意义
   不分析物理意义就真成数学了
2. 分析动力学特征，\(\vec{r}(t),\vec{v}(t),\vec{a}(t)\)的参数由什么决定，受力有什么特点
3. 分析功和能的变化
   比如，弹簧震动时，动能与弹性势能的相互转化

这其中，分析物理意义是极重要的，理论物理就是先通过数学分析，再进行对物理意义的分析

1.简谐振动

1.1 \(\vec{r}(t)\)

假设物体在一条直线上做简谐振动
把x轴建在这条直线
物体运动轨迹的中间平衡位置为坐标原点（它有种“对称性”）
\(\vec{r}(t)=(A\cos (\omega t+\phi)+b,0)\)
下面通过分析函数的各种性质来找物理意义

1.1.1定义域

\(t\subset[0,\infty]\)
当\(t=0\)，物体在初始位置
\(\vec{r}(0)=(A \cos\phi +b,0)\)

1.1.2值域

根据\(\cos\)的性质：
\(x\subset[-A+b,A+b]\)
所以可以看出，\(x=b\)为物体震动的中间平衡位置（以此为对称轴），\(A\)为振幅
整个轨迹长度为\(2A\)
因此，\(b\)的变化只导致整个振动的位置沿x轴平移，不影响运动细节，为了简便，可以让\(b=0\)，即物体从坐标原点开始振动，下文的分析都以\(b=0\)进行
那么，化简之后：\(\vec{r}(t)=(A\cos(\omega t+\phi),0)\)
\(t=0\):\(\vec{r}(0)=(A\cos \phi,0)\)
发现\(t=0\)，x不一定等于0
所以\(\phi\)决定物体起振位置（因为\(A\)已经是振幅了）
注意，\(b\)决定的是平衡位置，\(\phi\)决定的是初始位置，平衡位置不一定是初始位置
所以：

• \(\phi=0,\vec{r}(0)=(A,0)\)，说明物体从右端点起振
• 当\(\phi=\frac{\pi}{2},\vec{r}(0)=(0,0)\)，从原点起振
• 当\(\phi=\pi,\vec{r}(0)=(-A,0)\)，从左端点起振

1.1.3单调性&周期性

不妨设物体从右端点起振，即\(\phi=0\)，这并不影响对运动的分析
则\(\vec{r}(t)=(A\cos \omega t,0)\)
现在\(\omega\)的意义还没找到
讲\(\omega t\)当作一个整体，想象一下\(\cos\)的图像
可以发现，\(\cos(\omega t)\)以\(2\pi\)为周期
\(\cos(\omega t+2n\pi)=\cos\omega t\)
所以\(t\)的周期是\(\dfrac{2\pi}{\omega}\)
所以\(\vec{r}(t)=\vec{r}(t+\dfrac{2n\pi}{\omega})\)
所以振动周期\(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\)
也就是说\(\omega\)影响了周期的参数
\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\)，称为角频率，相当于圆周运动里的角速度
单调性的意义：单调递增的时候说明在像右动（正方向，\(t\subset [\dfrac{\pi}{\omega}+\dfrac{2n\pi}{\omega},\dfrac{2\pi}{\omega}+\dfrac{2n\pi}{\omega}]\)）
单调递减时说明在向左动（负方向，\(t\subset [0+\dfrac{2n\pi}{\omega},\dfrac{\pi}{\omega}+\dfrac{2n\pi}{\omega}]\)）

1.1.4所以可以给出结论

\(\vec{r}(t)=(A\cos (\omega t+\phi)+b,0)\)中：

• \(A\)表示振幅
• \(\omega\)为角频率，决定周期，\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\)
• \(\phi\)叫初始相位，决定初始位置
• \(b\)决定平衡位置，可以令整个运动平移
• \((\omega t+\phi)\)称为相位

1.1.5简谐振动和匀速圆周运动

每个简谐振动，都对应一个圆周运动
给出简谐运动与圆周运动的对应
仔细想一想发现下面这些东西还是挺好理解的

• \(\vec{r}(t)=(A\cos\omega t,0)\)对应圆周运动\(\vec{r}(t)=(A\cos\omega t,A\sin\omega t)\)
• \(\vec{r}(t)=(A\cos (\omega t+\phi)+b,0)\)对应圆周运动中\(\vec{r}(t)=(A\cos (\omega t+\phi)+b',A\sin(\omega t+\phi)+b')\)
• \((b,b')\)对于简谐振动时平衡位置，对于圆周运动是就是圆心
• \(A\)对应圆周运动中的圆周半径
• 相位对应圆周运动中的转角，初相位对应初始角度
• \(\omega\)当然也就是对应角速度

所以，其实简谐运动就是匀速圆周运动在坐标轴的投影，在上面第二三个式子中的\(b'\)其实就是在\(y=b'\)投影
 
\(\vec{r}\)终于结束了，然而还有\(\vec{v}\)和\(\vec{a}\)....

1.2\(\vec{v}(t)\)

通过求导：
\(\vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}(t)}{dt}=(-A\omega\sin(\omega t+\phi),0)\)

1.2.1值域

\(v_x\subset[-\omega A,\omega A]\)
所以速度大小是从0取到\(\omega A\)
考虑这些特殊值取到的条件
还是要想象一下\(\sin\)的图像

• \(\omega t+\phi=-\frac{\pi}{2}+2n\pi\)
  此时为平衡位置，\(v\)取到\(\omega A\)
• \(\omega t+\phi=\frac{\pi}{2}=2n\pi\)
  此时为平衡位置，\(v\)取\(-\omega A\)
• \(\omega t+\phi=n\pi\)
  此时在左右端点，\(v\)取0

1.2.2周期性

\(\vec{v}(t)\)的变化周期与\(\vec{r}(t)\)相同（就是多乘了一个\(\omega\)），\(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\)

1.2.3定义域

\(t\subset[0,+\infty]\)
\(t=0,\vec{v}(t)=(-A\omega\sin\phi,0)\)
\(\phi\)为速度的初始相位

1.2.4\(\vec{v}\)和\(\vec{r}\)的映射关系

已知\(\vec{v}\)，相当于已知\(\sin(\omega t+\phi)\)
要推\(\vec{r}\)，相当于要推\(\cos(\omega t+\phi)\)
所以，\(\cos(\omega t+\phi)=\pm\sqrt{1-\sin^2(\omega t+\phi)}\)，这是通过诱导公式推出
 
所以，\(\vec{v}\)确定时，物体位于关于平衡位置对称的两个点（可以推知动能与弹性势能的能量守恒）
反之，\(\vec{r}\)确定时，\(\vec{v}\)的大小可以被确定，但方向不一定
想象一个物体振动的画面，在同一个位置，物体有可能朝边界位置运动，也有可能朝平衡位置运动
 

1.3\(\vec{a}(t)\)

这个直接简略的写了
还是求导：
\(\vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=(-\omega^2A\cos(\omega t+\phi),0)=-\omega^2\vec{r}(t)\)
也是假设了\(b=0\)
所以可以得出推论：

1. \(\vec{a}\)始终与\(\vec{r}\)反向
2. \(\vec{a},\vec{r}\)的映射是一对一的
3. \(a_x\subset[-\omega^2A,\omega^2A]\)
   当物体位于平衡位置，\(a=0\)，当物体位于边界，\(a=\omega^2A\)

所以现在有了一堆 关于平衡树 关于平衡位置的性质：

• 它是整个简谐运动的对称的
• 速度最大
• 加速度为0
• 又根据牛二定律，物体受平衡力

那么我们可以根据最后一条，在找弹簧的平衡位置时，就是去找它受平衡力的点
比如竖直的弹簧，它静止的那个长度的点，才是平衡位置
 

2.简谐振动的运动学特征

这类题一般可以先把\(\vec{r}(t)\)找出来，根据它求解

2.1

\(\vec{F}=m\vec{a}=-m\omega^2\vec{r}\)
\(=(-m\omega^2A\cos(\omega t+\phi),0)\)
\(=-m\omega^2\vec{r}\)
容易联想到 容易吗 胡可定律
链接弹簧的振子受的弹力：\(\vec{F}=-k\vec{r}\)
所以，说明弹簧振子所受弹力可使其做简谐振动，\(k=m\omega ^2\)
所以，\(\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\)，符号当然是要舍弃的
那么，\(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\)
这就说明了，弹簧振子简谐振动的周期由振子质量，和弹簧弹性系数决定
随\(m\)增加，\(T\)增大，这是因为质量越大，惯性越大，越难改变它的运动状态，到了边界时，有一种“刹不住车”的状态，那运动距离就增长，时间当然也就更长
同样，如果\(k\)减小，就是弹簧比较软，也是这种“刹不住车”的情况，\(T\)也就增大

2.2决定这些参数的因素

\(\vec{r}=(A\cos(\omega t+\phi),0)\)
其中，\(\omega\)由\(k\)和\(m\)决定，也就是上面描述的
那么\(A\)和\(\phi\)呢？
\(A,\phi\)相当于两个待定系数，由两个初始条件决定
\(\vec{r}(0)\)决定了\(\phi\)，但可能会相差\(\pi\)的相位（往左动或是往右动）
决定\(A\)的因素：比如我把弹簧拉到\(5cm\)，那么弹簧的\(A\)即\(5cm\)，如果我把它拉到\(5cm\)并给它一个初速度，那么它的\(A\)就也不是\(5cm\)了，而且当速度一定，弹簧的\(k\)不一样\(A\)也会有差别
所以，\(A\)是由\(E_{total}\)决定（也就是上面那三个因素的综合）

3关于弹簧势能

3.1其大小的推导

假设一个弹簧振子在水平面做简谐振动（不考虑重力势能的变化），机械能守恒，所以动能和弹性势能的和是一常数
\(\vec{r}(t)=(A\cos\omega t,0)\)，当\(t=0,\vec{r}=(A,0)\)
此时速度为0，所有能量都是弹性势能
当\(t=\frac{T}{4}\)（\(T\)是周期），振子在平衡位置，弹性势能肯定为0，所有能量都为动能
又因为\(\vec{v}(t)=(-A\omega\sin\omega t,0)\)，所以当\(t=\frac{T}{4},v=A\omega\)
所以结合上面两种情况，并运用\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)做出推导：

\[E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mA^2\omega^2=\frac{1}{2}mA^2\frac{k}{m}=\frac{1}{2}kA^2=E_p \]

\(A\)是振幅，其实也就是弹簧的型变量
所以当型变量为\(\Delta x\)时，弹簧的弹性势能为\(E_p=\dfrac{1}{2}k\Delta x^2\)

3.2那么就可以给出能量转换的总结

要注意那个内能的箭头是单向的，没有回到动能箭头

3其他东西

3.1对称性

这玩意也不知道在哪说，就放在这吧
首先，运动的轨迹是关于平衡的对称的
那么，关于平衡点对称的两个点，其速度大小是相同的，当然方向可能不同（1.2.4）
对于加速度，是大小方向均相同（1.3）
这个东西在解题里应该是常用的
比如弹簧振动，如果在一端边界的加速度，速度等物理量是相对好求的，那么我们就可以通过求这一端的物理量来知道另一端对应的物理量

3.2\(\omega<0\)

以上我们的讨论中，都假定了\(\omega>0\)，那么当\(\omega<0\)，它做的运动还是简谐振动吗？物理意义是什么？
首先，因为\(\cos\)是偶函数，所以整个位矢是不变的，肯定还是简谐振动
至于物理意义，之前说简谐振动就是匀速圆周运动在x轴的投影，那么\(\omega<0\)就是说明这个匀速圆周运动的方向发生了改变，变成顺时针（\(\omega>0\)是逆时针）
但即使这个圆周运动的防线改变，它的投影的轨迹是不变的，因此这个位矢是不变的

3.3单摆

单摆这玩意和简谐振动还能联系起来？
这里说的单摆，实际上只是摆动角度极小的情况

当摆动角为\(\theta\)，切线方向大小合力即为\(mg\sin\theta=ma\)
然后刚才说了，讨论的是摆动交极小的情况，所以这里用到一个取极限的方法
当\(\theta \rightarrow 0,\sin\theta \rightarrow \theta\)
又由于\(\theta\)是等于弧长除以半径，在\(\theta\)极小的时候弧长和这两点直接连起来的直线可以看作是相等的
那么\(\theta=\dfrac{\Delta x}{l}\)，则\(ma=mg\dfrac{\Delta x}{l}\)
所以这里\(k=\dfrac{mg}{l}\)，又因为\(\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}},T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\)
所以把\(k\)带进去就是\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\)
表明当\(\theta\)较小，单摆可以看作简谐振动，周期的公式
这个式子当把摆长和周期测出来，就能用来测重力加速度
同时，也说明单摆周期只与摆长有关

3.4回复力

指的是使振子返回平衡位置，并总指向平衡位置的力
没错一开始我居然不知道回复力是个啥

3.5关于解题

首先还是要理解这个运动的本质之后再去考虑题
如果能用守恒，首先考虑的肯定是用守恒，这一般是最简单的方法
这里说的守恒是指的能量，动量，角动量的守恒虽然后面俩还不会
关于如何判定守恒，要先分析做功的力的种类，判断能量守恒的范围，具体的在上面那张图里说过了
一般不太难的应该是可以把它的\(\vec{r}\)求出来
老师这么说的，然而我并没有发现哪个题用这个方法能更简单
或者是我太菜做的题太少
求的方法大概就是把\(\vec{r}\)先写出来，然后通过条件慢慢去确定其中每一个参数
另一个就是刚才说的对称性
其它如果还有别的发现或总结的好办法，会补充进来
 
 
然后呢？
然后就没了
 
 
一开始听课的时候记在了纸上，之后发现做作业的时候完全不会
于是听着回放又在blog里整理了一遍笔记
但怎么感觉那些题还是不会