1.总览
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LCT
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链分治（树剖）
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点/边分治
2.点分治
- 一棵树，点有(0/1)，多次修改，询问最远的两个(1)距离。
建出点分树，每个子树用堆维护：①最远的(1)距离；②它的每个儿子的①堆顶；
全局维护每棵子树②堆最大的两个值，每次修改暴力改就可以。
时间复杂度(O(n log^2n))（基本动态点分都是(log^2)以上的复杂度……然而仍然随便过(10^5)，小常数可能性微存？）。
- 一棵树，点有点权，每次询问距离一个点不超过(k)的点权和。
每个点维护一个深度数据结构（这里树状数组就可以），询问的时候子树直接查，父亲递归上去。
每个点对每个儿子单独维护一个树状数组，因为计算的时候要差分。
- 一棵树，度数不超过(20)，支持修改点权，求带权重心。
考虑重心在树上转移的过程，如果不是到父亲，显然是走到(size_y>frac{size_x}{2})的一个子树。
可以用点分树优化这个过程。
每次扫一下所有儿子，找到最优的，直接跳到分治中心递归即可。
由于重心是凸的，可以保证正确性。
考虑查询的时候，在点分树上找到最浅的一个点(y)，满足这个点被保留([l,r])后被(x)的连通块包含，则所有([l,r])间的点都在(y)的子树里。
对于以(y)为分治中心的每个点(i)，维护从(i)到(y)路径上编号最大和最小的点(max_i,min_i)。
发现点(i)在连通块内的充要条件是([min_i,max_i] subseteq [l,r])，转化成了经典二维数点问题。
3.链分治
- (n)个点的树，每条边可以切断或不切断，求(1)号点连通块大小恰好为(k)的方案数，对ntt模数取模。(n leq 10^5)。
一个比较显然的暴力是直接背包，每对点会在(lca)处产生一次复杂度，总复杂度(O(n^2))。
观察dp式子(f_{x,j}=prod_{y in son_x}^{sum_k=j}(f_{y,k}+[k=0]))，发现很像一个卷积。
考虑链分治，树上轻儿子(size)和是(O(nlog n))级别。
所以对于一条重链，可以先递归求出它链上所有轻儿子的生成函数，然后就变成了序列上问题，这个可以分治fft解决。总复杂度(O(nlog^3n))，不过常数很小。
著名毒瘤题。（我写这题的时候splay和treap都被卡常了，最后换了压缩trie才过）
比较naive的想法是根号分治+(log)数据结构。
发现对于每个大点，修改次数均摊(O(sqrt n))次，询问次数只有均摊(O(1))次，用分块代替(log)数据结构，可以做到(O(nsqrt n))。
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换一种思路，对每个点维护轻儿子，则不在这个集合里的只有重儿子，本身和父亲。修改的时候暴力跳重链就行了。
单次修改(log^2n)，询问(log n)。（实际上有一个(log)的做法）
比较naive的想法是离线建出操作树，问题变成了求链上叉积最大值。然而直接维护凸包是(log^3 n)的（树剖+线段树/set+凸包上二分）。
观察在重链上跳的过程，发现除了最后一次，每次都是重链上的一个前缀，那么可以离线询问，对每条重链直接暴力维护前缀凸包，两部分都是(log^2n)。
- (n)个点的树，(q)次操作，支持修改点权，询问最大权联通子图。(n, q leq 10^5)。
考虑序列上怎么做，发现就是一个经典的线段树题。
把它搬到树上，发现就是一个动态dp，做完了。
4.LCT
- 动态dp：只要满足dp式子具有可合并性，即，两个操作复合之后可以变成同样形态，只是系数不同的操作，就可以用动态dp维护。
- (n)个人，(0)~(n-1)，每个人有一个(a_i)。初始有一个(x=0)，按顺序依次执行每个人，可以选择把(x)变成((x+a_i) mod n)，最后(x)获胜。每个人的策略都是：只有变了(x)必胜，且不变(x)不必胜时，他才会变。(q)次操作，每次修改某个(a_i)，输出操作后谁会获胜。
每轮游戏只会有一个人动手，且动手前后一定是(i-a_i => i)。
如果(igeq a_i)，则(i)向(i-a_i)连边，整个结构形成了一个森林。
所有叶节点为(f_i=1)，中间节点为(max(0, 1-sum_{jin son_i}f_j)，lct维护动态dp即可。
- (n)个点的点仙人掌，边带权，(m)次操作，每次修改一条边权或询问两点间最大流。
最大流=最小割。
最小割如果是环边，就一定会把环上的最小值删掉，不妨把它删掉并把它的权值加到环上的其他边上，lct维护即可。
圆方树也可以做，合理设置边权即可。
- (n)个点的树，(q)次操作：增加点权，翻转路径（权值），询问路径和/最大值/最小值。
建两棵splay分别维护权值和形态，保证中序遍历一一对应，修改直接在权值splay上做就好了。
发现修改操作和lct中的换根操作一模一样，直接lct维护就行了。需要一个树状数组来维护额外信息。
- 有(A,B,C)三个点集，各有(n_A,n_B,n_C)个点。其中(Acup B,Acup C)分别构成两棵树，(A)内部没有边。随机(i,j)，删除([B_1,B_i],[C_1,C_j])，问(A)仍然联通的概率。(n_ileq 10^5)。
枚举(i)，显然(j)具有单调性，可以双指针。对于(AB)间的每条边，边权设为删除时间，加入(AC)边的时候删除(AB)间最早删除的边即可，lct随便维护。
不知道为什么这种水题讲了那么久。