算法学习 三 >> 认识算法的效率(循环设计)

引子：

例1：求1+2+....+n.

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1. 循环（模拟计算过程）:时间复杂度O(n)

   int s = 0;
   for(int i = 1; i <= n; i++)
           s = s + i;           

2. 数学模型(高斯求和)：时间复杂度为O(1)

   S = n(n+1)/2

例2：求1-2+3-4.....+(-1)^(n-1)n.

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1. 数学模型：Sn = Sn-1 + (-1)^(n-1)n

   int s = 0;
   for(int i = 1; i <= n; i++)
   {
       sign = -1 * sign;
       s = s + sign * i;        
       
   }  

   时间复杂度：O(n)

 例3：求1-3+5-7......(-1)^n-1(2n-1).

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1. 数学模型：Sn = Sn-1 + (-1)^n-1(2n-1)

   int s = 0;
   for(int i = 1; i <= n; i++)
   {
       sign = -1 * sign;
       s = s + sign * (2*i-1);        
   }  

    时间复杂度：O(n)

例4：1!-3!+5!-7!.....(-1)^(n-1)(2n-1)!

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1. 数学模型：Sn = S_n-1 + (-1)^n-1(2n - 1)!      或       Sn = S_n-1 + (-1)^n-1|S_n-1|x(2n-2)x(2n-1)
2. 描述：

   int s = 0;
   for(1到2n-1)
   {
       求2n-1阶乘;
       判断是正还是负后赋值给t;
       s = s + t; 
   }

3. 实现一：效率低

   int s = 0, signal = -1;
   for(int i = 1; i <= n; i++)
   {
       int t = 1;
       for(int j = 2; j <= 2*n - 1; j++)
           t = t * j;                //求阶乘
       signal = - signal;            //正负交替
       s = s + signal*t;             //求和
   }

    时间复杂度：O(n²)

4. 实现二：Sn = S_n-1 + (-1)^n-1|S_n-1|x(2n-2)x(2n-1)　　效率较高

   int s = 0, signal = -1, t = 1;
   for(int i = 1; i <= n; i++)
   {
       if(i > 1)
           t = t*(2*n-2)*(2*n-1);    　//求2n-1的阶乘
       signal = - signal;            //正负交替
       s = s + signal*t;             //求和
   }

    时间复杂度：O(n)

例5：小试牛刀>>>求>>>  Sn = 1 / 1! - 1 / 4! + 1 / 7!..... 1 /  [ (-1)^(n-1)(3n-2)! ]的n项和Sn。

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1. input描述：输入站一行，仅输入一个正整数n，可输入多组数据。
2. output描述：输出n对应的Sn的值（每组数据的输出占一行）。
3. 五组测试数据：（试着做一做在看答案O）

 

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>参考答案☜