合并果子
首先来看一下题目:
(OI2004合并果子)
【题目描述】
果园里,多多已经将所有的果子打了下来,而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆
每一次合并,多多可以把两堆果子合并到一起,消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出,所有的果子经过n-1次合并之后,就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和.
因为还要花大力气把这些果子搬回家,所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1,并且已知果子的种类数和每种果子的数目,你的任务是设计出合并的次序方案,使多多耗费的体力最少,并输出这个最小的体力耗费值。
例如有3种果子,数目依次为1,2,9。可以先将1、2堆合并,新堆数目为3,耗费体力为3。接着,将新堆与原先的第三堆合并,又得到新的堆,数目为12,耗费体力为12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。
【输入格式】
第一行:一个数n,表示果子的堆数。
第二行:n个数ai,表示每堆果子的果子个数。
【输出格式】
一个数:多多所要花费的最小的体力。
【数据范围】:
n≤100000
【输入样例1】
3
1 2 9
【输出样例1】
15
【输入样例2】
10
3 5 1 7 6 4 2 5 4 1
【输出样例2】
120
这个题就用到了堆的思想。按照一般的思想来打代码,应该是每一次合并之后就从大到小拍一遍序,接着合并。按照这样的思路,答案是没有错的,但是时间复杂度就会十分的高。下面附一下普通思路的合并果子的代码:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #define MAXN 100010 using namespace std; int n,heavy[MAXN],energy[MAXN]={0},total=0; int cmp(int x,int y) { return x>y; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&heavy[i]); sort(heavy+1,heavy+n+1,cmp); for(int i=2;i<=n;i++) { heavy[i]+=heavy[i-1]; heavy[i-1]=0; sort(heavy+1,heavy+n+1,cmp); energy[i]=heavy[i]+heavy[i-1]; } for(int i=1;i<=n-1;i++) total+=energy[i]; printf("%d",total); return 0; }
那么在这里就用到了堆(不懂堆的小朋友:详见->《堆》)
那么思路是这样的:
首先这个问题比较模糊,所以我们可以将它的问题描述转化一下:给了n个节点(即果子堆数),每一个节点有一个权值w[i](每一个堆的果子个数),我们要做的就是将其中的两个合并为一棵树, 假设每一个节点到根节点的距离为d[i],那么我们就要使得最终的∑(w[i]*d[i])最小(不懂∑的请点这里->《希腊字母在数学计算中表示的含义》)。那么具体的方法就是这样的:
- 从这个森林里面取出两个权值最小的节点。
- 将他们的权值相加,得到一个新的子树,然后删除原子树。
- 将当前得到的新子树插入到森林中然后维护。
- 不断重复1~3直到整个森林里面只有一棵树为止。
所以这里最重要的其实就是两个操作:取出get()和插入put()。
但是由于取出只能取出根节点,二我们要取出的还必须是权值最小的节点,所以我们要制作一个小根堆。
下面附上代码:
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; int heap_size,n; int heap[30001]; void swip(int &a,int &b) { int t=1;a=b;b=t; } void put(int d) { int now,next; heap[++heap_size]=d; now=heap_size; while(now>1) { next=now>>1; if(heap[now]>=heap[next]) return; swap(heap[now],heap[next]); now=next; } } int get() { int now,next,res; res=heap[1]; heap[1]=heap[heap_size--]; now=1; while(now*2<=heap_size) { next=now*2; if(next<heap_size&&heap[next+1]<heap[next]) next++; if(heap[now]<heap[next]) return res; swap(heap[now],heap[next]); now=next; } return res; } void work() { int i,x,y,ans=0; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&x); put(x); } for(i=1;i<n;i++) { x=get(); y=get(); ans+=x+y; put(x+y); } printf("%d",ans); } int main() { work(); return 0; }