(【定理内容】若exists N_{0}，当n>N_{0}时，有a_{n}leqslant b_{n},则lim_{n o infty}a_{n}leqslant lim_{n oinfty}b_{n})
（注意，不是数列极限的保号性）
(说明，前提条件是从某项开始，所有项都满足a_{n}leqslant b_{n},即a_{n}不大于b_{n},对于序号相同的项,即小于或者等于)
(如同分数线，不大于100分，则100分，以及0分都符合条件，结论都成立)
(或者理解为，b_{n}不小于a_{n},条件相当于分数线为100分，那么等于100分，或者120分，都满足条件。)
【证明】
反证法。
(假设lim_{n o infty}a_{n}>lim_{n oinfty}b_{n})
(设lim_{n o infty}a_{n}=a,lim_{n oinfty}b_{n}=b)
(则依假设有：quad a>b)
(设epsilon=frac{a-b}{2})
(则exists N_{1},当n>N_{1}时，|a_{n}-a|<epsilon)
(则exists N_{2},当n>N时_{2}，|b_{n}-b|<epsilon)
(设N=max{N_{0},N_{1},N_{2}},则)
(当n>N时,有|a_{n}-a|<epsilon,|b_{n}-b|<epsilon)
(即quad a-epsilon<a_{n}<a+epsilon)
(quadquad b-epsilon<b_{n}<b+epsilon)
(即quad a-frac{a-b}{2}<a_{n}<a+frac{a-b}{2})
(quadquad b-frac{a-b}{2}<b_{n}<b+frac{a-b}{2})
(化简如下)
(frac{a+b}{2}<a_{n}<frac{3a-b}{2})
(frac{3b-a}{2}<b_{n}<frac{a+b}{2})
(可得quad b_{n}<a_{n}，矛盾)
证毕
注意，下面结论不成立
(若a_{n}<b_{n},则lim_{n oinfty}a_{n}<lim_{n oinfty}b_{n})
(反例:-frac{1}{n}<frac{1}{n})
(但是lim_{n oinfty}-frac{1}{n}=lim_{n oinfty}frac{1}{n}=1)