以下证明，来自华东师范大学数学分析第三版，但是证明最后，闭区间套定理的应用，做了改动，书中使用了某个闭区间套的引理，我改成了直接证明，不用任何引理
(数列的柯西收敛准则证明-华东师大构造数列闭区间套证明法)
(华东师范大学数分教材用的是构造数列，构成闭区间套证明法。)
(中科大数分教材是用收敛子列法（写在其他笔记里面）)
(这里是华东师范大学的数列构造法)
(【数列的柯西收敛准则】)
(数列an收敛的充要条件是,若∀ϵ>0,∃N,∀m,n>N，数列an收敛的充要条件是,若∀ϵ>0,∃N,∀m,n>N，)
(有|an−am|<ϵ有|an−am|<ϵ)
(【说明】其含义是，数列an随着n趋于无穷，各项彼此越靠越近，越往后越近，任给一个任意小的整数，【说明】其含义是，数列an随着n趋于)(无穷，各项彼此越靠越近，越往后越近，任给一个任意小的整数，)
(都能从某项之后，任意两项之间的距离，或者说差的绝对值，都小于这个给定的任意小的数。都能从某项之后，任意两项之间的距离，或者说)(差的绝对值，都小于这个给定的任意小的数。)
(也就是，从某项之后，即使距离最大的两项，其距离差，都小于给定的任意小的数)
(【证明】)
(根据题设，forallepsilon>0,exists N,当m,n>N时，有|a_{m}-a_{n}|<epsilonleqslantepsilon)
(取epsilon=frac{1}{2},则exists N_{1},当n>N_{1}时,有|a_{n}-a_{N_{1}}|leqslantfrac{1}{2})
(则，在区间[a_{N_{1}}-frac{1}{2},a_{N_{1}}+frac{1}{2}]内，有无穷多项{a_{n}})
(记[a_{N_{1}}-frac{1}{2},a_{N_{1}}+frac{1}{2}]=[alpha{1},eta_{1}])
(取epsilon=frac{1}{2^2},则exists N_{2}',当n>N_{2}'时，有|a_{n}-a_{N_{2}'}|leqslantfrac{1}{2^2})
(设N_{2}=MAX{N_{2}',(N_{1}+1)})
(则在区间[a_{N_{2}}-frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+frac{1}{2^2}]内，有无穷多项{a_{n}}quadquad(2))
(记[{alpha_{2},eta_{2}}]=[a_{N_{2}}-frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+frac{1}{2^2}]cap[a_{N_{1}}-frac{1}{2^2},a_{N_{1}}+frac{1}{2^2}])
(因为N_{2}>N_{1}，所以a_{N_{2}}in[a_{N_{1}}-frac{1}{2},a_{N_{1}}+frac{1}{2}])
(故,[{alpha_{2},eta_{2}}]
eqemptyset)
(因为[alpha1,eta1]ackslash[alpha2,eta2]中的元素在[a_{N_{2}}-frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+frac{1}{2^2}]之外，所以)
(所以只有有限项，)
(又因为[a_{N_{2}}-frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+frac{1}{2^2}]ackslash[alpha2,eta2]中的元素在[a_{N_{1}}-frac{1}{2},a_{N_{1}}+frac{1}{2}]之外，所以只有有限项)
(故[alpha2,eta2]内有无限项{a_(n)})
(且有quad [alpha1,eta1]supset[alpha2,eta2])
(因为[alpha2,eta2]subset[a_{N_{2}}-frac{1}{2^2},a_{N_{2}}+frac{1}{2^2}])
(由(2)式可知eta2-alpha2leqslantfrac{1}{2})
(继续令epsilon=frac{1}{2^3},cdotcdot,frac{1}{2^n},cdotcdot)
(得到一系列闭区间{[alpha_{n},eta_{n}})
(满足:[alpha_{n},eta_{n}]subset[alpha{n+1},eta_{n+1}])
(alpha_{n}-eta_{n}leqslantfrac{1}{2^(n-1)})
(0leqslantalpha_{n}-eta_{n}leqslantfrac{1}{2^(n-1)})
(由迫敛定理，可得lim_{n oinfty}(eta_{n}-alpha_{n})=0)
(lim_{n oinfty})
(即,[alpha_{n},eta_{n}]是闭区间套)
(则，存在唯一一个数xiin[alpha_{n},eta_{n}](n=1,2,3..))
(下面证明xi是{a_{n}}极限)
(因为[alpha_{n},eta{n}]里{a_{n}}的无穷多项，均有|a_{n}-xi|leqslantfrac{1}{2^(n-1)})
(故，若使|a_{n}-xi|<epsilon)
(只需frac{1}{2^(n-1)}<epsilon)
(即quad n>frac{lnfrac{2}{epsilon}}{ln2}即可)
证毕