$0.dot{9}=1，是指以1为极限，而非初等数学的相等“=”$

$注：文中的讨论，没有使用严格的 epsilon 极限定义，而是简单假设$

按照中小学的定义，整数，有限小数，无限循环小数是有理数。无限不循环小数是无理数。

$frac{1}{3}=0.dot{3}$

但是真的相等吗？

$1除以3，永远有一个余数1，虽然这个1 ，可以无限小，但是再怎么小，也不是零，即使无限循环，也永远有一个1，这个1永远不会变成0$

$或者说，这个永远存在的余数1，是个无穷小。$

$而0.dot{3}体现不出这个无穷小1的存在$

$正确合理的解释，是0.dot{3}以frac{1}{3}为极限，即，0.dot{3}可以无限靠近frac{1}{3},而不是其他数字$

$而且frac{1}{3}这个极限是唯一的。$

$否则，假设有其他某个数字a，可以被0.dot{3}无限靠近，若a<frac{1}{3}, 那么这个a和frac{1}{3}之间的差，可以被0.dot{3}突破，\$

$即，存在一个N，当n大于N时，a<0.3cdotcdot n个3<frac{1}{3}$

$同理，若a>frac{1}{3}, 那么这个a和frac{1}{3}之间的差，可以被0.dot{3}突破，因为0.dot{3}可以任意靠近frac{1}{3}\$

$而a与frac{1}{3}之间的差，是固定的。$

$即，存在一个N，当n大于N时，0.3...n个3，有frac{1}{3}<0.3..n个3<a,即0.dot{3}>frac{1}{3}$

$所以这个极限frac{1}{3}是0.dot{3}唯一的极限。$

$所以，0. dot{3}是以frac{1}{3}为极限，0.dot{9}以1为极限$

$所以，0.dot{9}=1，0.dot{3}=1，是指以1为极限，而非初等数学的“=”\$,

$即，0.dot{9}=1，0.dot{3}=1，这些无限循环小数的等号，是指明其极限，而非初等数学的“=”，不是初等数学的“相等”！$,

$ 问题，那么0.dot{3}到底是不是有理数呢？$

$如果认为极限就是值，那么0.dot{3}就是有理数frac{1}{3}$

$或者说0.dot{3}本身暗含极限的含义，那么这个等号是成立的，但是其含义是，其极限是frac{1}{3}\$