# codeforces 1245 A. A. Good ol' Numbers Coloring（数学）

题目大意

给出a，b，按照图中要求染色，问黑色格子是否是有限个（Finite）。

解题思路

这是codeforce官方题解：

根据染色要求，一个格子如果能表示成(ax+by(a,b为整数))的形式，那么这个格子可以被染成白色。由数学知识可以知道ax+by % gcd(a,b) = 0​，反之任意不能被(gcd(a,b))整除的数都不能表示成(ax+by)的形式。

接下来证明，任意一个数(x^{'}(x^{'}>=a*b))能用两个互质的数((a,b))来表示。

构造集合(S = {x^{'}, x^{'} - a, x^{'} - 2a, dots, x^{'} - (b - 1) a})，如果集合中任何一个数被染成白色，那么按照染色队则(x)也被染成白色。首先(S)集合中有b个元素，假设这些元素都不能被(b)整除，（一不能整除b的数 对(b)的余数只有b-1个，集合中有b个数，对b取余就会产生b种余数）根据鸽巢定理，这个集合中一定存在两个不同的数(x^{'} - sa, x^{'} - ta in S (s<t))对b取余之后余数一样，那么((x^{'} - sa) - (x^{'} - ta) = a (t - s)\% b=0)，由于a，b互质，那么(t-s)整除(b)，也就是(t-s=kb,k>=1)，由于(x^{'} - sa, x^{'} - ta in S (s<t))，可知(t<b,s<b,(t-s)<b)，所以(t-s)整除(b)不成立，假设不成立。

也就是集合S中一定存在一个能整除b的数，这个能整除b的数(x^{'}-sa)能表示成(ax+by)的形式，被染成白色，这个数加上(sa)得到(x^{'})，也能染成白色。这样就证明了任意一个数(x^{'}(x^{'}>=a*b))能表示成(ax+by)的形式。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,a,b;
int main(){
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>a>>b;
        if(__gcd(a,b)==1)cout<<"Finite
";
        else cout<<"Infinite
";
    }
    return 0;
}