计算系数(noip2011)

【问题描述】
给定一个多项式(ax + by)^k，请求出多项式展开后(x^n)*(y^m)项的系数。
【输入】
输入文件名为 factor.in。
共一行，包含 5 个整数，分别为a，b，k，n，m，每两个整数之间用一个空格隔开。
【输出】
输出文件名为 factor.out。
输出共 1 行，包含一个整数，表示所求的系数，这个系数可能很大，输出对10007 取模后的结果。
【输入输出样例】

factor.in	factor.out
1 1 3 1 2	3

【数据范围】

对于 30%的数据，有0≤k≤10；
对于 50%的数据，有a = 1，b = 1；
对于 100%的数据，有0≤k≤1,000，0≤n, m≤k，且n + m = k，0≤a，b≤1,000,000。

分析：

首先弄懂样例，然后从简单数据入手找规律。

（a*x+b*y）^2=(a*x)^2+2*a*b*x*y+(b*y)^2

（a*x+b*y）^3=(a*x)^3+3*(a^2)*b*(x^2)*y+3*a*(b^2)*x*(y^2)+(b*y)^3

（a*x+b*y）^4=(a*x)^4+4*(a^3)*b*(x^3)*y+6*(a^2)*(b^2)*(x^2)*(y^2)+4*a*(b^3)*x*(y^3)+(b*y)^3 

（a*x+b*y）^5=......

通过这几个简单的公式可以得出(x^n)*(y^m)的系数为t*(a^n)*(b^m),t值如下所示：

1 2 1 

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

.........

这不就是杨辉三角么（当然也是所有的组合情况C(k,n)）

若f[i,j]表示（a*x+b*y）^i展开后的系数

(a^n)*(b^m)的系数为f[i,i-n+1]

又

f[i,j]:=f[i-1,j-1]+f[i-1,j];

结果：ans=f[k,k-n+1]*(a^n)*(b^m)

由于题目要求输出对10007 取模后的结果，则有：

f[i,j]:=（(f[i-1,j-1] mod 10007)+(f[i-1,j]mod 10007))mod 10007;

a^n=((a^(N-1))mod 10007*a)mod 10007

b^m=((b^(m-1))mod 10007*b)mod 10007

(a^n可以边乘边取余数的方法做，也可用快速幂）。

注意：边界条件k=0，k=n等。

const
  maxk=1100;
var
  a,b,k,n,m,i,j,ans:longint;
  f:array[0..maxk,0..maxk] of longint;
begin
  readln(a,b,k,n,m);
  fillchar(f,sizeof(f),0);
  f[1,1]:=1;  f[1,2]:=1;
  for i:=1 to k do begin f[i,1]:=1;  f[i,i+1]:=1;  end;
  for i:=1 to k do
    for j:=2 to i do
      f[i,j]:=(f[i-1,j-1]+f[i-1,j] ) mod 10007;
  ans:=1;
  for i:=1 to  n do  ans:=(ans *a) mod 10007;
  for i:=1 to m do ans :=(ans *b)mod 10007;
  ans:=(f[k,k-n+1]*ans) mod 10007;
  if k=0 then writeln(1) else writeln(ans);
end.