威尔逊定理 当且仅当 (p) 为质数时,((p-1)! equiv -1(mod p)) 。即: (p) 为质数 (Leftrightarrow (p-1)! equiv -1(mod p)) 。
威尔逊定理的证明
必要性
易得:((p-1)!equiv -1(mod p)Leftrightarrow p|(p-1)!+1) 。
假设 (p) 不是质数,(a) 是 (p) 的质因子。我们有:(a | (p-1)!) ,(a ot| (p-1)!+1) 。而由上式我们可知:(p|(p-1)!+1 Rightarrow a|(p-1)!+1) 。
前后矛盾,故 (p) 一定为质数。
充分性