基本动态规划之硬币问题

问题描述

假设有 1 元，3 元，5 元的硬币若干（无限），现在需要凑出 11 元，问如何组合才能使硬币的数量最少？

问题分析

乍看之下，我们简单的运用一下心算就能解出需要 2 个 5 元和 1 个 1 元的解。当然这里只是列出了这个问题比较简单的情况。当硬币的币制或者种类变化，并且需要凑出的总价值变大时，就很难靠简单的计算得出结论了。贪心算法可以在一定的程度上得出较优解，但不是每次都能得出最优解。

这里运用动态规划的思路解决该问题。按照一般思路，我们先从最基本的情况来一步一步地推导。

我们先假设一个函数 d(i) 来表示需要凑出 i 的总价值需要的最少硬币数量。

1. 当 i = 0 时，很显然我们可以知道 d(0) = 0。因为不要凑钱了嘛，当然也不需要任何硬币了。注意这是很重要的一步，其后所有的结果都从这一步延伸开来。
2. 当 i = 1 时，因为我们有 1 元的硬币，所以直接在第 1 步的基础上，加上 1 个 1 元硬币，得出 d(1) = 1。
3. 当 i = 2 时，因为我们并没有 2 元的硬币，所以只能拿 1 元的硬币来凑。在第 2 步的基础上，加上 1 个 1 元硬币，得出 d(2) = 2。
4. 当 i = 3 时，我们可以在第 3 步的基础上加上 1 个 1 元硬币，得到 3 这个结果。但其实我们有 3 元硬币，所以这一步的最优结果不是建立在第 3 步的结果上得来的，而是应该建立在第 1 步上，加上 1 个 3 元硬币，得到 d(3) = 1。
5. ...

接着就不再举例了，我们来分析一下。可以看出，除了第 1 步这个看似基本的公理外，其他往后的结果都是建立在它之前得到的某一步的最优解上，加上 1 个硬币得到。得出：

d(i) = d(j) + 1

这里 j < i。通俗地讲，我们需要凑出 i 元，就在凑出 j 的结果上再加上某一个硬币就行了。

那这里我们加上的是哪个硬币呢。嗯，其实很简单，把每个硬币试一下就行了：

1. 假设最后加上的是 1 元硬币，那 d(i) = d(j) + 1 = d(i - 1) + 1。
2. 假设最后加上的是 3 元硬币，那 d(i) = d(j) + 1 = d(i - 3) + 1。
3. 假设最后加上的是 5 元硬币，那 d(i) = d(j) + 1 = d(i - 5) + 1。

我们分别计算出 d(i - 1) + 1，d(i - 3) + 1，d(i - 5) + 1 的值，取其中的最小值，即为最优解，也就是 d(i)。

最后公式：

代码示例

这里用 Java 实现了基本的代码：

public class CoinProblemBasicTest {

    private int[] d; // 储存结果
    private int[] coins = {1, 3, 5}; // 硬币种类

    private void d_func(int i, int num) {
        if (i == 0) {
            d[i] = 0;
            d_func(i + 1, num);
        }
        else {
            int min = 9999999; // 初始化一个很大的数值。当最后如果得出的结果是这个数时，说明凑不出来。
            for (int coin : coins) {
                if (i >= coin && d[i - coin] + 1 < min) {
                    min = d[i - coin] + 1;
                }
            }
            d[i] = min;

            if (i < num) {
                d_func(i + 1, num);
            }
        }
    }


    @Test
    public void test() throws Exception {
        int sum = 11; // 需要凑 11 元
        d = new int[sum + 1]; // 初始化数组

        d_func(0, sum); // 计算需要凑出 0 ～ sum 元需要的硬币数量
        for (int i = 0; i <= sum; i++) {
            System.out.println("凑齐 " + i + " 元需要 " + d[i] + " 个硬币");
        }
    }
}

结果如下：

凑齐 0 元需要 0 个硬币
凑齐 1 元需要 1 个硬币
凑齐 2 元需要 2 个硬币
凑齐 3 元需要 1 个硬币
凑齐 4 元需要 2 个硬币
凑齐 5 元需要 1 个硬币
凑齐 6 元需要 2 个硬币
凑齐 7 元需要 3 个硬币
凑齐 8 元需要 2 个硬币
凑齐 9 元需要 3 个硬币
凑齐 10 元需要 2 个硬币
凑齐 11 元需要 3 个硬币