[CF843D]Dynamic Shortest Path

[CF843D]Dynamic Shortest Path

题目大意：

给定一个带权有向图，包含(n(nle10^5))个点和(m(mle10^5))条边。共(q(qle2000))次操作，操作包含以下两种：

• (1:v)——查询从(1)到(v)的最短路。
• (2:c:l_1:l_2:ldots:l_c)——将边(l_1,l_2,ldots,l_c)增加(1)的权值。

思路：

首先使用Dijkstra算法求出原图的单源最短路径(dis[i])。对于所有的操作(2)，考虑增加边权后对答案的影响。不难发现每次修改边权后(dis[i])都会增加一定量或保持不变。不妨将每次每个点的增加量记作(add[i])，考虑增加边权后计算(add[i])的值。

类比Dijkstra算法的“松弛”操作，对于一个结点(x)，若(add[x] e0)，我们可以用(x)来松弛别的结点。枚举(x)的下一个结点(y)，若此时用(x)作为最短路中的上一任结点，则最短路长度需要增加(dis[x]+w(x,y)+add[x]-dis[y])。而(add[y])则需要对所有这样的值取(min)。这样完成所有的松弛操作后，(dis'[i]=dis[i]+add[i])。而这可以用BFS实现，其中当(add[i]>c)时则没有“松弛”的必要，可以进行剪枝。

配对堆优化Dijkstra复杂度(mathcal O(nlog n+m))，单次BFS更新最短路(mathcal O(q(n+m)))，总时间复杂度(mathcal O(nlog n+m+q(n+m)))。

细节：

注意边权可能为(0)，因此Dijkstra中被松弛的结点可能会跑到堆顶，不能松弛完再删除堆顶元素。本题时间限制较紧，实现时注意优化常数。

源代码：

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<climits>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<forward_list>
#include<ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
using int64=long long;
inline int getint() {
	register char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()));
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return x;
}
constexpr int N=1e5+1;
int n,w[N],add[N];
int64 dis[N];
using Edge=std::pair<int,int>;
std::forward_list<Edge> e[N];
using Vertex=std::pair<int64,int>;
__gnu_pbds::priority_queue<Vertex,std::greater<Vertex>> q;
__gnu_pbds::priority_queue<Vertex,std::greater<Vertex>>::point_iterator p[N];
inline void dijkstra() {
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		p[i]=q.push({dis[i]=i==1?0:LLONG_MAX,i});
	}
	while(!q.empty()&&q.top().first!=LLONG_MAX) {
		const int x=q.top().second;
		q.pop();
		for(register auto &j:e[x]) {
			const int &y=j.first,&w=::w[j.second];
			if(dis[x]+w<dis[y]) {
				q.modify(p[y],{dis[y]=dis[x]+w,y});
			}
		}
	}
	q.clear();
}
std::queue<int> v[N];
int main() {
	n=getint();
	const int m=getint(),q=getint();
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		const int u=getint(),v=getint();
		w[i]=getint();
		e[u].emplace_front(std::make_pair(v,i));
	}
	dijkstra();
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		if(dis[i]==LLONG_MAX) dis[i]=-1;
	}
	for(register int i=0;i<q;i++) {
		if(getint()==1) {
			printf("%lld
",dis[getint()]);
		} else {
			const int c=getint();
			for(register int i=0;i<c;i++) w[getint()]++;
			std::fill(&add[1],&add[n]+1,c+1);
			v[add[1]=0].emplace(1);
			for(register int i=0;i<=c;i++) {
				for(;!v[i].empty();v[i].pop()) {
					const int &x=v[i].front();
					if(add[x]!=i) continue;
					for(register auto &j:e[x]) {
						const int &y=j.first,&w=::w[j.second];
						const int64 d=dis[x]+w+add[x]-dis[y];
						if(d<add[y]) v[add[y]=d].emplace(y);
					}
				}
			}
			for(register int i=1;i<=n;i++) {
				if(add[i]!=c+1) dis[i]+=add[i];
			}
		}
	}
	return 0;
}