矩阵对角化

numerical recipe 里一共讲了两种实数对称矩阵的对角化，

jacobi法

tred2生成上三角阵以后用tqli对角化

前者稳定但慢易并行，后者较快但疑似不稳定，串行。

花了一下午，一点点调试终于知道了第二种方法不稳定的原因在哪里

        SUBROUTINE tred2(a,d,e,novectors)
        USE nrtype; USE nrutil, ONLY : assert_eq,outerprod
        IMPLICIT NONE
        REAL(SP), DIMENSION(:,:), INTENT(INOUT) :: a
        REAL(SP), DIMENSION(:), INTENT(OUT) :: d,e
        LOGICAL(LGT), OPTIONAL, INTENT(IN) :: novectors
        INTEGER(I4B) :: i,j,l,n
        REAL(SP) :: f,g,h,hh,scale
        REAL(SP), DIMENSION(size(a,1)) :: gg
        LOGICAL(LGT) :: yesvec
        n=assert_eq(size(a,1),size(a,2),size(d),size(e),'tred2')
        if (present(novectors)) then
                yesvec=.not. novectors
        else
                yesvec=.true.
        end if
        do i=n,2,-1
                l=i-1
                h=0.0
                if (l > 1) then
                        scale=sum(abs(a(i,1:l)))
                        if (scale == 0.0) then
                                e(i)=a(i,l)
                        else
                                a(i,1:l)=a(i,1:l)/scale
                                h=sum(a(i,1:l)**2)
                                f=a(i,l)
                                g=-sign(sqrt(h),f)
                                e(i)=scale*g
                                h=h-f*g
                                a(i,l)=f-g
                                if (yesvec) a(1:l,i)=a(i,1:l)/h
                                do j=1,l
                                        e(j)=(dot_product(a(j,1:j),a(i,1:j)) &
                                        +dot_product(a(j+1:l,j),a(i,j+1:l)))/h
                                end do
                                f=dot_product(e(1:l),a(i,1:l))
                                hh=f/(h+h)
                                e(1:l)=e(1:l)-hh*a(i,1:l)
                                do j=1,l
                                        a(j,1:j)=a(j,1:j)-a(i,j)*e(1:j)-e(j)*a(i,1:j)
                                end do
                        end if
                else
                        e(i)=a(i,l)
                end if
                d(i)=h
        end do
        if (yesvec) d(1)=0.0
        e(1)=0.0
        do i=1,n
                if (yesvec) then
                        l=i-1
                        if (d(i) /= 0.0) then
                                gg(1:l)=matmul(a(i,1:l),a(1:l,1:l))
                                a(1:l,1:l)=a(1:l,1:l)-outerprod(a(1:l,i),gg(1:l))
                        end if
                        d(i)=a(i,i)
                        a(i,i)=1.0
                        a(i,1:l)=0.0
                        a(1:l,i)=0.0
                else
                        d(i)=a(i,i)
                end if
        end do
        END SUBROUTINE tred2

问题出在22行,scale==0.0的判断上。稍微有点常识的人都知道，计算机里做浮点数判断不能用==，必须用abs(scale-0.0)<episilon episilon为一个很小的数。没想到numerical recipe第三版的这本书里还有这样子的代码。

鉴于scale>=0.0，所以改成scale<=episilon就行了，结果就很稳定了。

吐槽一下，怪不得我总觉得结果怎么那么随机，原来是这里出的问题，这可是真随机啊！