线性素数筛

int prime[MAXN], tag[MAXN];
void Get_Prime()
{
    Mem0(tag);
    int cnt = 0;
    for(int i = 2;i < MAXN;++i)
    {
        if(!tag[i])
            prime[cnt++] = i;
        for(int j = 0;j < cnt && i * prime[j] <= MAXN;++j)
        {
            tag[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
}

这里难改，另给出新解释，添加欧拉函数线性筛的证明。。。

这个是很多人网上给的图。。。。这里只是搬个图来模拟

还是按上面的例子进行一遍模拟：N=20

以下为以前胡编。。。

---

下面说一下我的理解（关于网上说的两个重点）

1、

        for(int j = 0;j < cnt && i * prime[j] <= MAXN;++j)

对于这个的解释我觉得网上的解释实在看不懂再来看我这个比较好。。。因为我感觉我这个更难懂，但是别人的我看不懂

prime[j] 这里存是小于或等于 i 的所有素数。关于 i * prime[j] ，我们先看一个素数 2，

如果没有下面那个 break 的话

当 i = 3 时，这时候有 2 * 3,

当 i = 4 时，这时候有 2 * 4,（事实上程序跑到这里就 break了）

当 i = 5 时，这时候有 2 * 5。。

类推下去，可以知道，最后算得一定范围内和prime[j] 相关的合数（任何一个数可以用一个或多个素数相乘得到），这个些数是（prime[j] + 1 ~ i） * prime[j]

2、

            if(i % prime[j] == 0)
                break;

网上都说这里保证每个合数只会被它的最小质因数筛去，我就解释一下为什么这里会这样。过程里的主要式子忘了查什么资料哪里瞄到的，当时搭梯子后点来点去的。

质数就不用说了，说合数，每个合数 num 都可以表示成多个质数的积（欧拉函数）

我们设一个合数为 num，这个合数的最小质因数为 a ，那么可得 num = a^k * b；

1、当 k 为 1 时，num = a * b ( a < b)

2、当 k != 1 时，num = a^k * b

这里注意到我们将上面代码的合数表示为 i * prime[j] = num ;当 i % prime[j] == 0 时，那么 prime[j] 为组成 i 的最小的质数（prime 为从小到大排列的质数组)，即设 i = c * prime[j] ，那么 num = c * prime[j] * prime[j] = prime[j]^2 * c; 这符合上面的 2，虽然这种推论没有证明充要条件，但是应该能理解吧。。。。

那么上面的 1 呢？不就是 num = i * prime[j] = b * a（prime[j] <= i）