Codeforces 629C Famil Door and Brackets DP

题意：给你一个由括号组成的字符串，长度为m，现在希望获得一个长度为n（全由括号组成）的字符串,0<=n-m<=2000

这个长度为n的字符串要求有两个性质：1：就是任意前缀，左括号数量大于右括号数量

                                                  2：字符串中左括号的数量等于右括号

现在让你可以在长度为m的原串前加一个括号串p,在原串后加一个括号串q 最后p+m+q=n

问有多少种组合p,q能得到目标串

分析：（这题我不会，看了题解才会）

定义dp[i][j],为前缀长为i,且左括号数量-右括号数量=j的串有多少个

所以dp[0][0]=1;

if(j>0)dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j+1]

else j==0 dp[i][j]=dp[i-1][j+1]

然后处理原串，找到 左-右的最终数量cnt，和最小数量d

然后枚举p的长度和平衡值  对于长度i, 当-d<=j时，p可以加到前面

然后当p确定后，q的长度也确定，因为最终 左=右 ，所以q 的（右-左）的代价也知道了

假设当前是i，平衡度是j,所以只要将dp[i][j]*dp[n-m-i][j+cnt]加到答案就行了

注意：dp[i][j]代表前缀i，平衡度为j的方案数， dp[n-m-i][j+cnt]为后缀n-m-i，平衡度为-(j+cnt)的方案数，是对称的，很重要

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 2e3+5;
const LL mod = 1e9+7;
LL dp[N][N];
char s[100000+5];
int main()
{
    int m,n;
    scanf("%d%d%s",&n,&m,s+1);
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1; i<=n-m; ++i)
    {
        for(int j=0; j<=i; ++j)
        {
            if(!j)
                dp[i][j]=dp[i-1][j+1];
            else
                dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j+1])%mod;
        }
    }
    int cnt=0,d=m+1;
    for(int i=1; i<=m; ++i)
    {
        if(s[i]=='(')++cnt;
        else --cnt;
        d=min(d,cnt);
    }
    LL ans=0;
    for(int i=0; i<=n-m; ++i)
    {
        for(int j=0; j<=i; ++j)
        {
            if(-d<=j&&cnt+j<=n-m-i)
                ans=(ans+dp[i][j]*dp[n-m-i][cnt+j])%mod;
        }
    }
    printf("%I64d
",ans);
    return 0;
}