合并石头（直线+圆圈+强化+优化）

有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

输入

有多组测试数据，输入到文件结束。
每组测试数据第一行有一个整数n，表示有n堆石子。
接下来的一行有n（0< n <200）个数，分别表示这n堆石子的数目，用空格隔开

输出

输出总代价的最小值，占单独的一行

样例输入

3
1 2 3
7
13 7 8 16 21 4 18

暴力n3算法：
其中，dp[i][j]代表i到j堆的最优值，sum[i]代表第1堆到第i堆的数目总和。有：dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j])+sum[j]-sum[i-1]。

#include <fstream>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N=205;
const int INF=0x7fffffff;
int n;
int a[N],sum[N],dp[N][N];

void f();

int main(){
    //freopen("D:\input.in","r",stdin);
    while(~scanf("%d",&n)){
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        }
        f();
        printf("%d
",dp[1][n]);
    }
    return 0;
}
void f(){
    for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][i]=0;
    for(int r=1;r<n;r++){
        for(int i=1;i<n;i++){
            int j=i+r;
            if(j>n) break;
            dp[i][j]=INF;
            for(int k=i;k<=j;k++){
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
            }
            dp[i][j]+=sum[j]-sum[i-1];
        }
    }
}        

224ms

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四边行优化：优化：原状态转移方程中的k的枚举范围便可以从原来的(i~j-1)变为(s[i,j-1]~s[i+1,j])。

#include <fstream>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N=205;
const int INF=0x7fffffff;
int n;
int a[N],sum[N],dp[N][N],s[N][N];

void f();

int main(){
    //freopen("D:\input.in","r",stdin);
    while(~scanf("%d",&n)){
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        }
        f();
        printf("%d
",dp[1][n]);
    }
    return 0;
}
void f(){
    for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][i]=0,s[i][i]=i;
    for(int r=1;r<n;r++){
        for(int i=1;i<n;i++){
            int j=i+r;
            if(j>n) break;
            dp[i][j]=INF;
            for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++){
                if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j]){
                    dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j];
                    s[i][j]=k;
                }
            }
            dp[i][j]+=sum[j]-sum[i-1];
        }
    }
}        

32ms

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解释下：

四边形不等式优化动态规划原理:

1.当决策代价函数w[i][j]满足w[i][j]+w[i’][j’]<=w[I;][j]+w[i][j’](i<=i’<=j<=j’)时,称w满足四边形不等式.当函数w[i][j]满足w[i’][j]<=w[i][j’] i<=i’<=j<=j’)时,称w关于区间包含关系单调.

2.如果状态转移方程m为且决策代价w满足四边形不等式的单调函数(可以推导出m亦为满足四边形不等式的单调函数),则可利用四边形不等式推出最优决策s的单调函数性,从而减少每个状态的状态数,将算法的时间复杂度由原来的O(n^3)降低为O(n^2).方法是通过记录子区间的最优决策来减少当前的决策量.令:

s[i][j]=max{k | ma[i][j] = m[i][k-1] + m[k][j] + w[i][j]}

由于决策s具有单调性,因此状态转移方程可修改为:

证明过程: (转载)

设m[i,j]表示动态规划的状态量。

m[i,j]有类似如下的状态转移方程：

m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]}(i≤k≤j)

如果对于任意的a≤b≤c≤d，有m[a,c]+m[b,d]≤m[a,d]+m[b,c]，那么m[i,j]满足四边形不等式。

以上是适用这种优化方法的必要条件

对于一道具体的题目，我们首先要证明它满足这个条件，一般来说用数学归纳法证明，根据题目的不同而不同。

通常的动态规划的复杂度是O(n³)，我们可以优化到O(n²)

设s[i,j]为m[i,j]的决策量，即m[i,j]=m[i,s[i,j]]+m[s[i,j]+j]

我们可以证明，s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j] （证明过程见下）

那么改变状态转移方程为：

m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]} (s[i,j-1]≤k≤s[i+1,j])

复杂度分析：不难看出，复杂度决定于s的值，以求m[i,i+L]为例，

(s[2,L+1]-s[1,L])+(s[3,L+2]-s[2,L+1])…+(s[n-L+1,n]-s[n-L,n-1])=s[n-L+1,n]-s[1,L]≤n

所以总复杂度是O(n²)

对s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]的证明：

设m_k[i,j]=m[i,k]+m[k,j]，s[i,j]=d

对于任意k<d，有m_k[i,j]≥m_d[i,j]（这里以m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}为例,max的类似），接下来只要证明m_k[i+1,j]≥m_d[i+1,j]，那么只有当s[i+1,j]≥s[i,j]时才有可能有m_s[i+1,j][i+1,j]≤m_d[i+1,j]

(m_k[i+1,j]-m_d[i+1,j]) - (m_k[i,j]-m_d[i,j])

=(m_k[i+1,j]+m_d[i,j]) - (m_d[i+1,j]+m_k[i,j])

=(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j]) - (m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]+m[k,j])

=(m[i+1,k]+m[i,d]) - (m[i+1,d]+m[i,k])

∵m满足四边形不等式，∴对于i<i+1≤k<d有m[i+1,k]+m[i,d]≥m[i+1,d]+m[i,k]

∴(m_k[i+1,j]-m_d[i+1,j])≥(m_k[i,j]-m_d[i,j])≥0

∴s[i,j]≤s[i+1,j]，同理可证s[i,j-1]≤s[i,j]

证毕

扩展：

以上所给出的状态转移方程只是一种比较一般的，其实，很多状态转移方程都满足四边形不等式优化的条件。

解决这类问题的大概步骤是：

0.证明w满足四边形不等式，这里w是m的附属量，形如m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]+w[i,j]}，此时大多要先证明w满足条件才能进一步证明m满足条件

1.证明m满足四边形不等式

2.证明s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]

GarsiaWachs算法优化+小细节优化：

#include <fstream>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N = 205;
const int INF = 0x7fffffff;

int stone[N];
int n,t,ans;

void combine(int k)
{
    int tmp = stone[k] + stone[k-1];
    ans += tmp;
    for(int i=k;i<t-1;i++)
        stone[i] = stone[i+1];
    t--;
    int j = 0;
    for(j=k-1;stone[j-1] < tmp;j--)
        stone[j] = stone[j-1];
    stone[j] = tmp;
    while(j >= 2 && stone[j] >= stone[j-2])
    {
        int d = t - j;
        combine(j-1);
        j = t - d;
    }
}

int main()
{
    //freopen("D:\input.in","r",stdin);
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",stone+i);
        stone[0]=INF;
        stone[n+1]=INF-1;
        t = 3;
        ans = 0;
        for(int i=3;i<=n+1;i++)
        {
            stone[t++] = stone[i];
            while(stone[t-3] <= stone[t-1])
                combine(t-2);
        }
        while(t > 3) combine(t-1);
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}        

0ms

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解释：

对于石子合并问题，有一个最好的算法，那就是GarsiaWachs算法。时间复杂度为O(n^2)。

它的步骤如下：

设序列是stone[]，从左往右，找一个满足stone[k-1] <= stone[k+1]的k，找到后合并stone[k]和stone[k-1]，再从当前位置开始向左找最大的j，使其满足stone[j] > stone[k]+stone[k-1]，插到j的后面就行。一直重复，直到只剩下一堆石子就可以了。在这个过程中，可以假设stone[-1]和stone[n]是正无穷的。

举个例子：

186 64 35 32 103

因为35<103，所以最小的k是3，我们先把35和32删除，得到他们的和67，并向前寻找一个第一个超过67的数，把67插入到他后面，得到：186 67 64 103,现在由5个数变为4个数了，继续：186 131 103，现在k=2（别忘了，设A[-1]和A[n]等于正无穷大）234 186，最后得到420。最后的答案呢？就是各次合并的重量之和，即420+234+131+67=852。

基本思想是通过树的最优性得到一个节点间深度的约束，之后证明操作一次之后的解可以和原来的解一一对应，并保证节点移动之后他所在的深度不会改变。具体实现这个算法需要一点技巧，精髓在于不停快速寻找最小的k，即维护一个“2-递减序列”朴素的实现的时间复杂度是O(n*n)，但可以用一个平衡树来优化，使得最终复杂度为O(nlogn)。

题目由直线型变成圆形

朴树暴力

#include <fstream>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N=205;
const int INF=0x7fffffff;
int n;
int a[N],sum[N],dp[N][N];

int f();

int main(){
    //freopen("D:\input.in","r",stdin);
    while(~scanf("%d",&n)){
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        }
        printf("%d
",f());
    }
    return 0;
}
int f(){
    for(int i=1;i<=n;i++)   dp[i][0]=0;
    for(int r=1;r<n;r++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int j=i+r;
            dp[i][r]=INF;
            for(int k=1;k<=r;k++){
                if(i+k>n)   dp[i][r]=min(dp[i][r],dp[i][k-1]+dp[(i+k)%n][r-k]);
                else    dp[i][r]=min(dp[i][r],dp[i][k-1]+dp[i+k][r-k]);
            }
            if(i+r>n) dp[i][r]+=sum[(i+r)%n]+sum[n]-sum[i-1];
            else    dp[i][r]+=sum[i+r]-sum[i-1];
        }
    }
    int ans=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,dp[i][n-1]);
    return ans;
}

5ms

View Code

四边形优化

#include <fstream>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N=205;
const int INF=0x7fffffff;
int n;
int a[N],sum[N],dp[N][N],s[N][N];

int f();

int main(){
    //freopen("D:\input.in","r",stdin);
    while(~scanf("%d",&n)){
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        }
        printf("%d
",f());
    }
    return 0;
}
int f(){
    for(int i=1;i<=n;i++)   dp[i][0]=0,s[i][0]=1;
    for(int r=1;r<n;r++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int j=i+r;
            dp[i][r]=INF;
            for(int k=s[i][r-1];k<=s[i+1][r-1]+1;k++){
                int t=dp[i][k-1]+dp[(i+k-1)%n+1][r-k];
                if(dp[i][r]>t){
                    dp[i][r]=t;
                    s[i][r]=k;
                }
            }
            if(i+r>n) dp[i][r]+=sum[(i+r)%n]+sum[n]-sum[i-1];
            else    dp[i][r]+=sum[i+r]-sum[i-1];
        }
    }
    int ans=INF;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,dp[i][n-1]);
    return ans;
}

0ms

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还记得经典题石子合并吗？现在小Y将题目加强啦！
在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子，现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选取相邻的三堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。
编一程序，读入石子堆数n及每堆的石子数。选择一种合并石子的方案，使得做(n-1)/2次合并，得分的总和最小。

Input Format

第1行一个数，表示石子堆数。
第2行是顺序排列的各堆石子数(<=1000)，每两个数之间用空格分隔。

Output Format

输出合并的最小得分。

Sample Input

5
1 2 3 4 5

Sample Output

Hint

【样例解释】
先合并（1 2 3），再合并（6 4 5）
【数据范围】
对于20%的数据，n=5
对于60%的数据，n<=80
对于100%的数据，n<=400

分析

对于60%的数据，我们可以处理[i,j]这段区间是由[i,k1][k1+1,k2][k2+1,j]这三段区间合并的。复杂度

#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,W[402],a[402],F1[402][402],F2[402][402];
int main(){
    freopen("merge.in","r",stdin);
    freopen("merge.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&W[i]);
        a[i]=a[i-1]+W[i];
    }
    memset(F1,127/2,sizeof(F1)); memset(F2,127/2,sizeof(F2));
    for (int i=n;i;i--){
        F1[i][i]=0;
        F1[i][i+2]=a[i+2]-a[i-1];
        for (int j=i+3;j<=n;j++){
            for (int k=i;k<j;k++) F2[i][j]=min(F2[i][j],F1[i][k]+F1[k+1][j]);
            for (int k=i;k<j;k++) F1[i][j]=min(F1[i][j],min(F1[i][k]+F2[k+1][j],F2[i][k]+F1[k+1][j])+a[j]-a[i-1]);
        }
    }
    if (n&1) printf("%d",F1[1][n]);
    else printf("Impossible");
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}

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