欧拉图
欧拉图通路（回路）：通过图中所有边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路（回路）
无向图判断
G有欧拉通路：G连通，且G中奇数度的点只有0或2个。
G有欧拉回路：G连通，且G中都是偶数度点（奇数度点为零）。
有向图判断
D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外（只有两个），其余顶点的入度等于出度。这两个顶点一个出度比入度大1，一定是起点；另一个入度比出度大1，一定是终点（只能大1，且总共两个这样的点）。
D有欧拉回路：D连通，D中所有点的入度等于出度。
欧拉图典型的问题有单词拼接，一笔画问题，其解题步骤大概相同
第一步：根据有向图或无向图的条件，判断是否具有欧拉通路（回路）；
第二步：在判断是否连通（dfs或并查集）一般判断连通：遍历节点次数是否等于节点总数。如果是通路：一定要从起点开始遍历。
判断连通：并查集
什么是连通：连通图基于连通的概念。在一个无向图G中，若从顶点i到顶点j有路径相连（当然从j到i也一定有路径），则称i和j是连通的。如果G是有向图，那么连接i和j的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。如果此图是有向图，则称为强连通图（注意：需要双向都有路径）。图的连通性是图的基本性质。（不是任意两点都需要有直接路径）
无向图欧拉回路 eg：HDU 1878(欧拉回路）
#include<stdio.h>
#include<memory.h>
#include<iostream>
#define MAX 1005
using namespace std;
int pre[MAX];
int in[MAX];
int M, N;
void init(){ //并查集初始化操作
for(int i = 1; i <= N; ++i){
pre[i] = i;
}
}
int find(int x){ //并查集查找操作
int r = x;
while(r != pre[r]){
r = pre[r];
}
int i = x, j;
while(i != r){
j = pre[i];
pre[i] = r;
i = j;
}
return r;
}
void join(int a, int b){ //并查集合并操作
int x = find(a);
int y = find(b);
if(x != y)
pre[a] = b;
}
int main(){
while(scanf("%d", &N) && N){
scanf("%d", &M);
int a, b;
memset(pre, 0, sizeof(pre));
memset(in, 0, sizeof(in));
init();
for(int i = 0; i < M; ++i){
scanf("%d%d", &a, &b);
join(a, b);
in[a]++;
in[b]++;
}
int flag1 = 0, flag2 = 0;
for(int i = 1; i <= N; ++i){ //判断是否连通
if(pre[i] == i){
flag2++;
}
}
for(int i = 1; i <= N; ++i){ //判断一个顶点的度是否为偶数
if(in[i] % 2){
flag1 = 1;
break;
}
}
if(flag1 == 1 || flag2 - 1 != 0)
printf("0
");
else
printf("1
");
}
}有向图欧拉回路：eg HDU 1116（Play on Words）
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<memory.h>
using namespace std;
#define MAX 1005
int pre[MAX];
int in[MAX], out[MAX],existed[MAX];
//有向欧拉回路：连通且每个顶点入度等于出度
void init(){
for(int i = 1; i <= 26; ++i){
pre[i] = i;
}
}
int find(int x){
int r = x;
while(r != pre[r]){
r = pre[r];
}
int i = x, j;
while(i != r){
j = pre[i];
pre[i] = r;
i = j;
}
return r;
}
void join(int a, int b){
int x = find(a);
int y = find(b);
if(x != y){
pre[x] = y;
}
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
int T;
scanf("%d", &T);
char ch[MAX];
while(T--){
memset(pre, 0, sizeof(pre));
memset(in, 0, sizeof(in));
memset(out, 0, sizeof(out));
memset(existed, 0, sizeof(existed));
memset(ch, 0, sizeof(ch));
init();
int n;
cin>>n;
for(int i = 1;i <= n; ++i){
cin>>ch;
int a = ch[0] - 'a' + 1; //将字符转换成整型
int b = ch[strlen(ch) - 1] - 'a' + 1;
join(a, b); //并查集
out[a]++;
in[b]++;
existed[a] = 1; //表示在这个输入里有这个字母
existed[b] = 1;
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i <= 26; ++i){
if(pre[i] == i && existed[i] == 1)
ans++; //查询路径是否连通
}
if(ans > 1){
printf("The door cannot be opened.
");
continue;
}
int input = 0, output = 0, middle = 0;
// 头： 出度 = 入度 + 1 尾：入度 = 出度 + 1 中间：出度 == 入度
for(int i = 1; i <= 26; ++i){
if((in[i] != out[i]) && existed[i]){
if(in[i] == out[i] + 1){
input++;
}
else if(in[i] + 1 == out[i]){
output++;
}
else
middle++;
}
}
if(middle)
{
printf("The door cannot be opened.
");
continue;
}
if((input == 1 && output == 1) || (input == 0 && output == 0))
{
printf("Ordering is possible.
");
continue;
}
else
printf("The door cannot be opened.
");
}
return 0;
}