• 欧拉回路


    欧拉图
    欧拉图通路(回路):通过图中所有边一次且仅一次,并且过每一顶点的通路(回路)
    无向图判断
    G有欧拉通路:G连通,且G中奇数度的点只有0或2个。
    G有欧拉回路:G连通,且G中都是偶数度点(奇数度点为零)。
    有向图判断
    D有欧拉通路:D连通,除两个顶点外(只有两个),其余顶点的入度等于出度。这两个顶点一个出度比入度大1,一定是起点;另一个入度比出度大1,一定是终点(只能大1,且总共两个这样的点)。
    D有欧拉回路:D连通,D中所有点的入度等于出度。
    欧拉图典型的问题有单词拼接,一笔画问题,其解题步骤大概相同
    第一步:根据有向图或无向图的条件,判断是否具有欧拉通路(回路);
    第二步:在判断是否连通(dfs或并查集)一般判断连通:遍历节点次数是否等于节点总数。如果是通路:一定要从起点开始遍历。

    判断连通:并查集

    什么是连通:连通图基于连通的概念。在一个无向图G中,若从顶点i到顶点j有路径相连(当然从j到i也一定有路径),则称i和j是连通的。如果G是有向图,那么连接i和j的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的,那么图被称作连通图。如果此图是有向图,则称为强连通图(注意:需要双向都有路径)。图的连通性是图的基本性质。(不是任意两点都需要有直接路径)

    无向图欧拉回路 eg:HDU 1878(欧拉回路)
     

    #include<stdio.h>
    #include<memory.h>
    #include<iostream>
    #define MAX 1005
    using namespace std;
    int pre[MAX];
    int in[MAX];
    int M, N;
    void init(){    //并查集初始化操作
      for(int i = 1; i <= N; ++i){
        pre[i] = i;
      }
    }
    int find(int x){    //并查集查找操作
      int r = x;
      while(r != pre[r]){
        r = pre[r];
      }
      int i = x, j;
      while(i != r){
        j = pre[i];
        pre[i] = r;
        i = j;
      }
      return r;
    }
    void join(int a, int b){    //并查集合并操作
      int x = find(a);
      int y = find(b);
      if(x != y)
        pre[a] = b;
    }
    int main(){
      while(scanf("%d", &N) && N){
        scanf("%d", &M);
        int a, b;
        memset(pre, 0, sizeof(pre));
        memset(in, 0, sizeof(in));
        init();
        for(int i = 0; i < M; ++i){
          scanf("%d%d", &a, &b);
          join(a, b);
          in[a]++;
          in[b]++;
        }
        int flag1 = 0, flag2 = 0;
        for(int i = 1; i <= N; ++i){    //判断是否连通
          if(pre[i] == i){
            flag2++;
          }
        }
        for(int i = 1; i <= N; ++i){    //判断一个顶点的度是否为偶数
          if(in[i] % 2){
            flag1 = 1;
            break;
          }
        }
        if(flag1 == 1 || flag2 - 1 != 0)
          printf("0
    ");
        else
          printf("1
    ");
     
      }
    }

    有向图欧拉回路:eg HDU 1116(Play on Words)

    #include<stdio.h>
    #include<iostream>
    #include<memory.h>
    using namespace std;
    #define MAX 1005
    int pre[MAX];
    int in[MAX], out[MAX],existed[MAX];
    //有向欧拉回路:连通且每个顶点入度等于出度
    void init(){
      for(int i = 1; i <= 26; ++i){
        pre[i] = i;
      }
    }
    int find(int x){
      int r = x;
      while(r != pre[r]){
        r = pre[r];
      }
      int i = x, j;
      while(i != r){
        j = pre[i];
        pre[i] = r;
        i = j;
      }
      return r;
    }
    void join(int a, int b){
      int x = find(a);
      int y = find(b);
      if(x != y){
        pre[x] = y;
      }
    }
    int main(int argc, char const *argv[])
    {
      int T;
      scanf("%d", &T);
      char ch[MAX];
      while(T--){
        memset(pre, 0, sizeof(pre));
        memset(in, 0, sizeof(in));
        memset(out, 0, sizeof(out));
        memset(existed, 0, sizeof(existed));
        memset(ch, 0, sizeof(ch));
        init();
        int n;
        cin>>n;
        for(int i = 1;i <= n; ++i){
          cin>>ch;
          int a = ch[0] - 'a' + 1;  //将字符转换成整型
          int b = ch[strlen(ch) - 1] - 'a' + 1;
          join(a, b);   //并查集
          out[a]++;
          in[b]++;
          existed[a] = 1;   //表示在这个输入里有这个字母
          existed[b] = 1;
        }
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= 26; ++i){
          if(pre[i] == i && existed[i] == 1)
            ans++;  //查询路径是否连通
        }
        if(ans > 1){
          printf("The door cannot be opened.
    ");
          continue;
        }
        int input = 0, output = 0, middle = 0;
        // 头: 出度 = 入度 + 1    尾:入度 = 出度 + 1   中间:出度 == 入度
        for(int i = 1; i <= 26; ++i){
          if((in[i] != out[i]) && existed[i]){
            if(in[i] == out[i] + 1){
              input++;
            }
            else if(in[i] + 1 == out[i]){
              output++;
            }
            else
              middle++;
          }
        }
          if(middle)
          {
            printf("The door cannot be opened.
    ");
            continue;
          }
          if((input == 1 && output == 1) || (input == 0 && output == 0))
         {
            printf("Ordering is possible.
    ");
          continue;
        }
          else
            printf("The door cannot be opened.
    ");
        }
      return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/shmilky/p/14089008.html
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