什么是感受野
The receptive field is defined as the region in the input space that a particular CNN’s feature is looking at (i.e. be affected by).
—— A guide to receptive field arithmetic for Convolutional Neural Networks
感受野（Receptive Field），指的是神经网络中神经元“看到的”输入区域，在卷积神经网络中，feature map上某个元素的计算受输入图像上某个区域的影响，这个区域即该元素的感受野。
卷积神经网络中，越深层的神经元看到的输入区域越大，如下图所示，kernel size 均为(3 imes 3)，stride均为1，绿色标记的是(Layer 2) 每个神经元看到的区域，黄色标记的是(Layer 3) 看到的区域，具体地，(Layer 2)每个神经元可看到(Layer 1) 上 (3 imes 3) 大小的区域，(Layer3) 每个神经元看到(Layer 2) 上 (3 imes 3) 大小的区域，该区域可以又看到(Layer 1) 上 (5 imes 5) 大小的区域。
所以，感受野是个相对概念，某层feature map上的元素看到前面不同层上的区域范围是不同的，通常在不特殊指定的情况下，感受野指的是看到输入图像上的区域。
为了具体计算感受野，这里借鉴视觉系统中的概念，
准确计算感受野，需要回答两个子问，即视野中心在哪和视野范围多大。
- 只有看到”合适范围的信息”才可能做出正确的判断，否则就可能“盲人摸象”或者“一览众山小”；
- 目标识别问题中，我们需要知道神经元看到是哪个区域，才能合理推断物体在哪以及判断是什么物体。
但是，网络架构多种多样，每层的参数配置也不尽相同，感受野具体该怎么计算？
约定
在正式计算之前，先对数学符号做如下约定，
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(k)：kernel size
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(p)：padding size
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(s)：stride size
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(Layer)：用(Layer)表示feature map，特别地 (Layer 0)为输入图像；
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(Conv)：用(Conv)表示卷积，(k)、(p)、(s)为卷积层的超参数，(Conv l)的输入和输出分别为 (Layer l-1) 和 (Layer l+1)；
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(n)：feature map size为 (n imes n)，这里假定(height = width)；
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(r)：receptive field size为(r imes r)，这里假定感受野为方形；
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(j)：feature map上相邻元素间的像素距离，即将feature map上的元素与输入图像(Layer 0) 上感受野的中心对齐后，相邻元素在输入图像上的像素距离，也可以理解为 feature map上前进1步相当于输入图像上前进多少个像素，如下图所示，feature map上前进1步，相当于输入图像上前进2个像素，(j=2)；
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(start)：feature map左上角元素在输入图像上的感受野中心坐标((start, start))，即视野中心的坐标，在上图中，左上角绿色块感受野中心坐标为((0.5, 0.5))，即左上角蓝色块中心的坐标，左上角白色虚线块中心的坐标为((-0.5, -0.5))；
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(l)：(l)表示层，卷积层为(Conv l)，其输入feature map为(Layer l-1)，输出为(Layer l)。
下面假定所有层均为卷积层。
感受野大小
感受野大小的计算是个递推公式。
再看上面的动图，如果feature map $Layer 2 $ 上的一个元素(A)看到feature map (Layer 1) 上的范围为(3 imes 3)（图中绿色块），其大小等于kernel size (k_2)，所以，(A)看到的感受野范围(r_2)等价于(Layer 1)上(3 imes 3)窗口看到的(Layer 0) 范围，据此可以建立起相邻(Layer)感受野的关系，如下所示，其中(r_{l})为(Layer l)的感受野，(r_{l-1})为(Layer l-1) 的感受野，
- (Layer l) 一个元素的感受野(r_{l})等价于(Layer l-1) 上(k imes k) 个感受野的叠加；
- (Layer l-1) 上一个元素的感受野为(r_{l-1})；
- (Layer l-1) 上连续(k) 个元素的感受野可以看成是，第1个元素看到的感受野加上剩余(k-1)步扫过的范围，(Layer l-1) 上每前进1个元素相当于在输入图像上前进(j_{l-1})个像素，结果等于(r_{l-1} + (k - 1) imes j_{l-1})
可视化如下图所示，
下面的问题是，(j_{in})怎么求？
(Layer l) 上前进1个元素相当于(Layer l-1)上前进(s_l)个元素，转换成像素单位为
其中，(s_l)为(Conv l)的kernel在(Layer l-1) 上滑动的步长，输入图像的(s_0 = 1)。
根据递推公式可知，
(Layer l)上前进1个元素，相当于在输入图像前进了(prod_{i=1}^{l} s_{i})个像素，即前面所有层(stride)的连乘。
进一步可得，(Layer l)的感受野大小为
感受野中心
感受野中心的计算也是个递推公式。
在上一节中计算得(j_l = prod_{i=1}^{l} s_{i})，表示feature map (Layer l)上前进1个元素相当于在输入图像上前进的像素数目，如果将feature map上元素与感受野中心对齐，则(j_l)为感受野中心之间的像素距离。如下图所示，
其中，各层的kernel size、padding、stride超参数已在图中标出，右侧图为feature map和感受野中心对齐后的结果。
相邻(Layer)间，感受野中心的关系为
所有的(start)坐标均相对于输入图像坐标系。其中，(start_0=(0.5,0.5))，为输入图像左上角像素的中心坐标，(start_{l-1})表示(Layer l-1)左上角元素的感受野中心坐标，((frac{k_l - 1}{2} - p_l))为(Layer l)与(Layer l-1)感受野中心相对于(Layer l-1)坐标系的偏差，该偏差需折算到输入图像坐标系，其值需要乘上(j_{l-1})，即(Layer l-1)相邻元素间的像素距离，相乘的结果为((frac{k_l - 1}{2} - p_l) * j_{l-1})，即感受野中心间的像素距离——相对输入图像坐标系。至此，相邻(Layer)间感受野中心坐标间的关系就不难得出了，这个过程可视化如下。
知道了(Layer l)左上角元素的感受野中心坐标((start_l, start_l))，通过该层相邻元素间的像素距离(j_l)可以推算其他元素的感受野中心坐标。
小结
将感受野的相关计算小结一下，
由上面的递推公式，就可以从前向后逐层计算感受野了，代码可参见computeReceptiveField.py，在线可视化计算可参见Receptive Field Calculator。
最后，还有几点需要注意，
- (Layer l)的感受野大小与(s_l)、(p_l)无关，即当前feature map元素的感受野大小与该层相邻元素间的像素距离无关；
- 为了简化，通常将padding size设置为kernel的半径，即(p = frac{k-1}{2})，可得(start_l = start_{l-1})，使得feature map (Layer l) 上((x, y))位置的元素，其感受野中心坐标为((x j_l, y j_l))；
- 对于空洞卷积dilated convolution，相当于改变了卷积核的尺寸，若含有(dilation rate)参数，只需将(k_l)替换为(dilation rate * (k_l - 1) + 1) ，(dilation rate=1)时为正常卷积；
- 对于pooling层，可将其当成特殊的卷积层，同样存在kernel size、padding、stride参数；
- 非线性激活层为逐元素操作，不改变感受野。
以上。
参考
- wiki-Receptive field
- wiki-Receptive Field Calculator
- arXiv-Understanding the Effective Receptive Field in Deep Convolutional Neural Networks
- medium-A guide to receptive field arithmetic for Convolutional Neural Networks
- medium-Topic DL03: Receptive Field in CNN and the Math behind it
- ppt-Convolutional Feature Maps: Elements of Efficient (and Accurate) CNN-based Object Detection
- SIGAI-关于感受野的总结
- Calculating Receptive Field of CNN