• [Sdoi2016]硬币游戏


    4600: [Sdoi2016]硬币游戏

    Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB
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    Description

    Alice和Bob现在在玩的游戏,主角是依次编号为1到n的n枚硬币。每一枚硬币都有两面,我们分别称之为正面和反
    面。一开始的时候,有些硬币是正面向上的,有些是反面朝上的。Alice和Bob将轮流对这些硬币进行翻转操作,且
    Alice总是先手。具体来说每次玩家可以选择一枚编号为x,要求这枚硬币此刻是反面朝上的。对于编号x来说,我
    们总可以将x写成x=c*2^a*3^b,其中a和b是非负整数,c是与2,3都互质的非负整数,然后有两种选择第一种,选择
    整数p,q满足a>=p*q,p>=1且1<=q<=MAXQ,然后同时翻转所有编号为c*2^(a-p*j)*3^b的硬币,其中j=0,1,2,..,q。第
    二种,选择整数p,q满足b>=p*q,p>=1且1<=q<=MAXQ,然后同时翻转所有编号为c*2^a*3^(b-p*j)的硬币,其中j=0,1,
    2,..,q。可以发现这个游戏不能不先进行下去,当某位玩家无法继续操作上述操作时,便输掉了游戏。作为先手的
    Alice,总是希望可以在比赛开始之前就知道自己能否获胜。她知道自己和Bob都是充分聪明的,所以在游戏过程中
    两人都会最优化自己的策略并尽量保证自己处于不败的情形中

    Input

    本题有多组测试数据,第一行输入一个整数T,表示总的数据组数。之后给出T组数据
    每组数据第一行输入两个整数n,MAXQ
    第二行输入n个整数,第i个数表示第i个硬币的初始状态,0表示反面朝上,1表示正面朝上
    对于100%的数据1<=n<=30000,1<=MAXQ<=20,t<=100。

    Output

    输出共有t行。对于每一组数据来说,如果Alice先手必胜,则输出"win"(不包括引号),否则输出"lose"

    Sample Input

    6
    16 14
    1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1
    16 14
    0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1
    16 11
    0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1
    16 12
    1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0
    16 4
    1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0
    16 20
    0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0

    Sample Output

    win
    lose
    win
    lose
    win
    win

    HINT

     

    Source

    • 首先我们可以发现,每个数的形式都是这样的:c∗2a∗3b
    • 如果我们建立一个二维的坐标系,横坐标表示a,纵坐标表示b,可以这样表示的原因是因为这个游戏的规则。每次翻的点都是c相同的。所以就与c没什么关系了。
    • 这样我们令sg[i][j]表示i这个点与之前所有点的状态不一样,翻这个点的sg值是多少。那么转移可以去暴力枚举后继局面,即我们去枚举去2的因子,和去3的因子,那么能够达到的后继局面sg值就是所有枚举到的后继状态的异或和。
    • 有一个问题就是在一个后继状态中会被翻的所有的点得sg值怎么表示?在计算答案的过程中翻一个点会不会对前面的点有影响?
    • 其实这两个是一个问题,就是这个点和它的后继点是否是独立的。
    • 其实是独立的。我们可以看求sg的过程,假如我们翻了这个点后会对前面有些点产生影响,但是对于某一个点来说被翻得总次数是一定的,只是先后顺序不同,所以无论顺序是怎样这个点的状态都会是这个,也就是说这个点可以看成是独立的。
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    using namespace std;
    inline void read(int &x){
        register char ch=getchar();x=0;    
        while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
        while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    }
    bool flag[500];
    int T,n,maxq,SG[20][20];
    inline void divide(int x,int &n2,int &n3){
        for(n2=0;x&1^1;x>>=1) n2++;
        for(n3=0;!(x%3);x/=3) n3++;
    }
    inline void log(int x,int &n2,int &n3){
        int v;
        for(v=x,n2=0;v>1;v>>=1) n2++;
        for(v=x,n3=0;v>2;v/=3) n3++;
    }
    inline void dp(){
        memset(SG,0,sizeof SG);
        int x,y;log(n,x,y);
        for(int i=0;i<=x;i++){
            for(int j=0;j<=y;j++){
                memset(flag,0,sizeof flag);
                for(int p=1;p<=i;p++){
                    for(int q=1;q<=maxq&&p*q<=i;q++){
                        int o=-1;
                        for(int k=1;k<=q;k++){
                            o=(~o)?o^SG[i-p*k][j]:SG[i-p*k][j];    
                        }
                        if(~o) flag[o]=1;
                    }
                }
                for(int p=1;p<=j;p++){
                    for(int q=1;q<=maxq&&p*q<=j;q++){
                        int o=-1;
                        for(int k=1;k<=q;k++){
                            o=(~o)?o^SG[i][j-p*k]:SG[i][j-p*k];    
                        }
                        if(~o) flag[o]=1;
                    }
                }
                for(int o=0;;o++) if(!flag[o]){SG[i][j]=o;break;}
            }
        }
    }
    int main(){
        int o,o2,o3,now(0);
        for(read(T);T--;now=0){
            read(n);read(maxq);dp();
            for(int i=1;i<=n;i++){
                read(o);if(o) continue;
                divide(i,o2,o3);
                now^=SG[o2][o3];
            }
            puts(now?"win":"lose");
        }
        return 0;    
    }
     
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