查找第K大的值

这种题一般是给定N个数，然后N个数之间通过某种计算得到了新的数列，求这新的数列的第K大的值

---

POJ3579

题意：

用$N$个数的序列$x[i]$，生成一个新序列$b$。

新的序列定义为：对于任意的$ i$，$j$且 $i != j $有$b[] = abs(x[i] - x[j])$

问新序列的中位数是什么,如果新序列的长度为偶数那么我们定义中位数为排序后第len/2位置的那个数

解法：

相当于问新序列中的第K大的数多少。

注意新数列不可能全都算出来。

二分答案，二分那个第K大的数的值。

$x[i]-x[j] ge mid$

相当于

$x[i] ge mid+x[j]$

然后我们在排序过的原数组中，对每个$a[i]$二分这个$mid$值，统计有多少个值小于它，统计累加所有的值，最后看是不是小于K

代码如下：

int N;
int a[MAXN];
LL M;

bool C(int t) {
    LL cnt = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        cnt += N - (lower_bound(a + i + 1, a + N, a[i] + t) - a);
    }
    return cnt <= M / 2;
}

void solve() {
    sort(a, a + N);
    M = N * (N - 1) / 2;
    int ub = a[N - 1] + 1, lb = 0;
    while (ub - lb > 1) {
        int mid = (ub + lb) >> 1;
        if (C(mid)) {
            ub = mid;
        } else {
            lb = mid;
        }
    }
    cout << lb << endl;
    return;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif  // !ONLINE_JUDGE
    while (~scanf("%d", &N)) {
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        solve();
    }
    return 0;
}

---

POJ3685

题意：

有一个$ N*N$ 的矩阵$ A$ ，$A[i][j]=i^2+100000i+j^2-100000j+ij$

求所有矩阵元素中第$ K$ 大的值

解法：

求第$ K$ 大的值，二分答案

首先肯定是二分这个K值是多少，接下来就是验证的问题。

由于$ N*N$ 的值很大，所以我们必须找到它的单调性，那么有以下式子：

$A[i+1][j] = A[i][j] + (2*i + j + 1 + 100000)$（同一列递推式）

$A[i][j+1] = A[i][j] + (2*j + i + 1 - 100000)$ （同一行递推式）

可以发现：在列方向上，矩阵单调递增，而在行方向上上，当$ （2*j + i + 1）> 100000 $ 时，递增，反之递减。

那么我们在每个列方向上直接二分那个$ i$ 值的大小，判断的一句就是$ A[i][j]$ 与假想$ K$ 值的大小关系。

代码如下：

LL N, M;

LL cal(LL i, LL j) { return i * i + 100000 * i + j * j - 100000 * j + i * j; }

bool C(LL x) {
    LL sum = 0;
    for (int j = 1; j <= N; j++) {
        LL ub = N + 1, lb = 0;
        LL ans = 0;
        while (ub - lb > 1) {
            LL mid = (ub + lb) >> 1;
            if (cal(mid, j) <= x) {
                ans = mid;
                lb = mid;
            } else {
                ub = mid;
            }
        }
        sum += ans;
    }
    return sum >= M;
}

void solve() {
    LL ub = LLINF, lb = -LLINF;
    while (ub - lb > 1) {
        LL mid = (ub + lb) >> 1;
        if (C(mid)) {
            ub = mid;
        } else {
            lb = mid;
        }
    }
    cout << ub << endl;
    return;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif  // !ONLINE_JUDGE
    int T = READ();
    while (T--) {
        getchar();
        scanf("%lld%lld", &N, &M);
        solve();
    }
    return 0;
}