【线性基】51nod1312 最大异或和&LOJ114 k大异或和

1312 最大异或和

题目来源： TopCoder

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 320 难度：7级算法题

 

有一个正整数数组S，S中有N个元素，这些元素分别是S[0],S[1],S[2]...,S[N-1]。现在你可以通过一个操作来更新数组。操作方法如下：

选择两个不同的数i、j（0<=i,j<N 且 i!=j），先计算A = S[i] xor S[j], B = S[j]。然后用A、B替换S[i]，S[j]，即 S[i]=A , S[j]=B。其中xor表示异或运算。

你可以进行任意多次操作，问最后生成的数组S的元素和 SUM = S[0]+S[1]+S[2]+...+S[N-1] 最大可能值是多少。输出这个最大值。

 

例如：S = {1,0}，去A = S[1] xor S[0] = 1,B = S[0] = 1,新的S={1,1}，SUM = 1+1 = 2.

 

Input

第一行一个整数N，且1<=N<=50
接下来N行每行一个整数S[i]，且0<=S[i]<=1,000,000,000,000,000 (10^15)

Output

一个整数，即最后集合可能的最大值SUM。

Input示例

3
1
2
3

Output示例

8

题解

处理出来线性基直接求得结果即可

代码

//by 减维
#include<set>
#include<map>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define il inline
#define db double
#define rg register
#define mpr make_pair
#define maxn 105
#define eps 1e-8
#define inf (1<<30)
#define pi 3.1415926535897932384626L
using namespace std;

inline int read()
{
    int ret=0;bool fla=0;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-'){fla=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){ret=ret*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return fla?-ret:ret;
}

int n,cnt;
ll mx,ans,a[maxn],b[maxn],p[65],bin[65];

int main()
{
    n=read();
    bin[0]=1;for(int i=1;i<=62;++i) bin[i]=bin[i-1]<<1;
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&a[i]),b[i]=a[i];
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=62;j>=0;--j)
            if(a[i]&bin[j])
                if(!p[j]){p[j]=a[i];break;}
                else a[i]^=p[j];
    for(int i=62;i>=0;--i)
        for(int j=i-1;j>=0;--j)
            if(p[i]&bin[j]) p[i]^=p[j];
    for(int i=62;i>=0;--i)
        if(p[i])
        {
            if((mx^p[i])>mx) mx^=p[i];
            cnt++;
        }
    ans+=mx*(n-cnt+1);
    cnt--;
    for(int i=0;cnt&&i<=62;i++)
        if(p[i]) ans+=(mx^p[i]),cnt--;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

#114. k 大异或和

题目描述

这是一道模板题。

给由 n n n 个数组成的一个可重集 S S S，每次给定一个数 k k k，求一个集合 T⊆S T subseteq S T⊆S，使得集合 T T T 在 S S S 的所有非空子集的不同的异或和中，其异或和 ${\mathrm{T1xorT2xor\dots xorT|T|\; 是第\; k\; k\; k\; 小的。}}^{}$

输入格式

第一行一个数 n n n。
第二行 n n n 个数，表示集合 S S S。
第三行一个数 m m m，表示询问次数。
第四行 m m m 个数，表示每一次询问的 k k k。

输出格式

输出 m m m 行，对应每一次询问的答案，第 k k k 小的异或和。如果集合 S S S 的所有非空子集中，不同的异或和数量不足 k k k，输出 −1 -1 −1。

样例

样例输入

3
1 2 3
5
1 2 3 4 5

样例输出

0
1
2
3
-1

数据范围与提示

1≤n,m≤10^5,0≤Si≤250​​,0≤S​i​​≤2​50​​

题解

要把线性基求出来后再消下元

对于询问，把k二进制拆分再求即可

代码

//by 减维
#include<set>
#include<map>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define il inline
#define db double
#define rg register
#define mpr make_pair
#define maxn 100005
#define eps 1e-8
#define inf (1<<30)
#define pi 3.1415926535897932384626L
using namespace std;

inline int read()
{
    int ret=0;bool fla=0;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-'){fla=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){ret=ret*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return fla?-ret:ret;
}

int n,m,cnt;
ll p[65],bin[65],a[65];

int main()
{
    n=read();int pd=0;
    bin[0]=1;for(int i=1;i<=62;++i) bin[i]=bin[i-1]<<1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        ll x;scanf("%lld",&x);
        for(int j=62;j>=0;--j)
            if(x&bin[j]){
                if(!p[j]){p[j]=x;break;}
                x^=p[j];
            }
        if(!x) pd=1;
    }
    for(int i=62;i>=0;--i)
        for(int j=i-1;j>=0;--j)
            if(bin[j]&p[i]) p[i]^=p[j];
    for(int i=0;i<=62;++i) if(p[i]) a[cnt++]=p[i];
    m=read();
    ll k;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        scanf("%lld",&k);k-=pd;
        ll ans=0;
        if(k>bin[cnt]-1){puts("-1");continue;}
        for(int j=cnt-1;j>=0;--j)
            if(k&bin[j]) ans^=a[j];
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}