【组合数学】Educational Codeforces Round 83 (Rated for Div. 2) D题

题意

长度为​n的序列​a，要求​(1<=ai<=m)，且严格先单调递增再单调递减，同时令恰只有一对ai,aj​使得ai==aj​

给出​n，m，求这样的序列的个数，答案对于998244353取模

题解

首先对于每一位都可以成为峰顶，我们枚举峰顶位于第i​位

然后我们需要从​m个数中选出​i个数，对于这选出的​个数，我们不妨令​为j其中的最大值

此时可以得出

 

到这里已经可以​O(n)求解了，总复杂度O(nlogn)，但是还可以继续向下化简

 

由二项式定理推导（求导）得

​

如此可以​O(logn)求解，但是预处理还是O(nlogn)

回头再看这个式子的意义

先从​m中选出n-1​个数

其中最大值肯定为峰顶，再从剩余n-2个数中选出一个数用来重复，剩下n-3个数可以在峰顶左边也可以在峰顶右边，故为

代码

//by 减维 
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200005
#define mod 998244353
#define ll long long
using namespace std;

int n,m;
ll ans,fac[maxn],inv[maxn];

ll ksm(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) ret=ret*x%mod;
        y>>=1;
        x=x*x%mod;
    }
    return ret;
}

ll c(ll x,ll y)
{
    if(x<y) return 0;
    return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fac[0]=inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        fac[i]=i*fac[i-1]%mod,inv[i]=ksm(fac[i],mod-2);
    for(int i=n/2+1;i<=n-1;++i)
    {
        int res=n-i;
        ans=(ans+(n%2&&i==n/2+1?1:2)*fac[n-2]%mod*inv[n-i-1]%mod*inv[i-2]%mod*((c(m,n-1)-c(i-1,n-1)+mod)%mod)%mod)%mod;
    }
    printf("%I64d",ans%mod);
    return 0;
}

补充

用到的二项式定理推导过程如下:

 P.S.

我太蠢了比赛的时候各种出错，不过感觉这道题真的挺好的，就算没有第一时间想到也可以慢慢推出来

另外推导过程并不十分严谨