[luogu] P4861 按钮
1.题目
题目背景
(Ada)被关在了一个房间里。
题目描述
房间的铁门上有一个按钮，还有一个显示屏显示着“1”。
旁边还有一行小字：“这是一个高精度(M)进制计算器，每按一次按钮，屏幕上的数便会乘以(K)。当个位数再次变为(1)时，门就开了。”
由于(Ada)急于出去，所以你要在(1s)之内求出她的最小按键次数。
输入输出格式
输入格式：
一行，两个整数(M)和(K)。
输出格式：
一行一个数字，表示最小按键次数。
如果无论(Ada)按多少次都无法让门打开，输出"Let's go Blue Jays!"（不含引号）。输入输出样例
输入样例#1：
11 2输出样例#1：
10输入样例#2：
6 26输出样例#2：
Let's go Blue Jays!说明
对于(30\%)的数据，(2 leqslant M,K leqslant 10^4)。
对于(100\%)的数据，(2 leqslant M,K leqslant 2×10^9)。
(Update)：我们不认为个位为11,21,...为问题的解（例如，11在16进制下记为B）
2.题解
数竟出的题真恐怖
30pts
可以开一个(unordered_map)判重，然后模拟乘的过程。
不用想，对是对，但是你280ms过是不存在的。
100pts
考虑求(K^r equiv 1 (mod~M))最小解( (r) 在数论中称作阶)。此方程有解当且仅当(gcd(K, M) = 1)。
假设所求方程中(gcd(K, M) = 1)，则由欧拉定理得(K^{phi(M)} equiv 1(mod~M))。但(phi(M))不一定是最小的(r)。
阶有一个善良的性质，即(r | phi(M))。这样我们可以(O(sqrt{phi(M)}))枚举因子，然后求可以使方程成立的因子的最小值即可。
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
ll k, m, ans(0x7ffffffffffff), a(1);
using std::swap; using std::exit; using std::min;
inline ll gcd(ll a, ll b){
if(a < b) swap(a, b);
return (!(b) ? a : gcd(b, a % b));
}
inline ll euler_phi(ll x) {
ll ans(x), tmp(x);
ll xx = ll(ceill(sqrtl((long double)x)));
for (ll i = 2; i <= xx; ++i)
if(!(tmp % i)) {
ans = ans / i * (i - 1);
while(!(tmp % i)) tmp /= i;
}
if(tmp > 1) ans = ans / tmp * (tmp - 1);
return ans;
}
inline ll f_pow(ll a, ll b) {
ll base(a), ans(1);
while(b) {
if(b & 1) ans = (ans * base) % m;
base = (base * base) % m;
b >>= 1;
}
return ans;
}
int main() {
scanf("%lld%lld", &m, &k);
if(gcd(m, k) != 1) {puts("Let's go Blue Jays!"); exit(0);}
ll phi = euler_phi(m);
ll p = ll(ceill(sqrtl((long double)phi)));
for (ll i = 1; i <= p; ++i)
if(!(phi % i)) {
(f_pow(k, i) == 1) ? ans = min(ans, i) : false;
(f_pow(k, phi / i) == 1) ? ans = min(ans, phi / i) : false;
}
printf("%lld
", ans);
return 0;
}