以后的搬砖转化一下思路，以一本书为主体，进行类似读书笔记式的讨论和总结，首先便从这本高德纳的《具体数学》开始吧。
大致翻了一下这本书，能够明显感觉到大师所著的书和国内的一些出版物是没办法比的。看了一下这本书的序言，发现这本书有一个很大的特色就是“数学涂鸦”，好像是有一部分读者在阅读该书时的注释被收录到了这本书当中，这些涂鸦中不仅仅有俏皮的玩笑，还不乏精巧的解题方略，与作者在论述清晰优雅而又诙谐的语调融为一体，大概才看了一节，感觉《具体数学》的确是一本值得仔细研读的好书。
那么下面我们便开始正式开始搬砖工作。
汉诺塔问题。
这个问题有个非常具有历史气息的背景：“卢卡斯[260] 给这个玩具赋予了一个罗曼蒂克的传说，说的是一个大得多的婆罗贺摩塔 （Tower of Brahma），它由64个纯金的圆盘堆放在三座钻石做成的方尖塔上．他说，上帝一开 始把这些金圆盘放到了第一座方尖塔上，并命令一组牧师按照上面的规则把它们移动到第三 座方尖塔上．据说牧师们夜以继日地工作，当他们完成任务时，那座塔就将坍塌，世界也将毁灭。”
汉诺塔最初是的简化模型是这样的，给三个柱子，一个柱子上拍着自下而上逐渐变小的n个圆盘，要求每次只能移动柱子上最上面的圆盘，并且这个圆盘不能移动到顶层比该圆盘小的柱子上。其实这样文字叙述有些拗口，汉诺塔是作为一种精巧的智力游戏的，读者不妨去体验一下汉诺塔游戏以便更好地理解其规则。
那么现在我们尝试从数学的角度来看这个模型。
我们记T(n)表示将n个圆盘从一个柱子移动到另一个柱子需要的最少步数。为了表述方便，我们将三个柱子记为A、B、C，我们探讨将A柱上n个圆盘移动到B柱上的最小步数。我们可以将求解T(n)分解成如下三个步骤：
1.将n-1个圆盘从A移动到C。
2.将第n个盘子移动到B。
3.将n-1个圆盘从C移动到B。
由此我们不难发现，T(n) = 2T(n-1) + 1,而T(1) = 1,我们可推知T(n) = 2^n - 1。
那么基于最简单的汉诺塔模型，我们下面来看一些汉诺塔的变式问题。
变式1：三个柱子间的移动呈现出逻辑关系，即A柱上只能移动到B柱上，B柱上只能移动到C柱上，游戏的目的变为将n个圆盘从A移动到C。
那么基于这种限制条件，为了求解T(n)(需要注意，此时T(n)所表达的意思也随着游戏目的的改变而发生变化，即T(n)表示将n个圆盘从A移动到C所需要的最小步数)，我们可以讲整个过程概括成如下几个步骤。
1.将n-1个圆盘从A移动到C。
2.将第n个圆盘移动到B。
3.将n-1个圆盘从C移动到A。
4.将第n个圆盘从B移动到C。
5.将n-1个圆盘从A移动到C。
通过这个过程我们不难看出，T(n) = 3T(n-1) + 2。
变式2：基于变式1的限制条件，我们可以将最大的圆盘放在最上面，那么请问将n个圆盘从A移动到C最少需要多少步？
我们尝试通过模拟游戏过程来找到递推关系。
1.先将n - 1个圆盘移动到B。记为T(n-1)
2.然后将第n个圆盘移动到C，需要2步。
3.再将n - 1个圆盘移动到C，此时仍然需要T(n-1)步。
需要注意的是，这里的T(n - 1)表示将n-1个圆盘从A移动到B或从B移动到C，即移动到相邻的柱子上的步数。
如果我们记F(n)是变式2问题的解，那么F(n) = 2T（n-1） + 2
那么下面我们需要探讨的便是如何求解T(n)了，即将n个圆盘从A移动到B，考虑到题设的限制条件(圆盘在柱子间移动的逻辑关系)，我们模拟出一下的游戏过程。
1.先将n - 1个圆盘移动到C，步数为2T(n-1)。
2.再将第n个圆盘移动到B，需要一步。
3.再将n-1个圆盘从C移动到B，需要T(n-1)步。
即T(n) = 3T(n-1) + 1 , T(1) = 1。
变式3：如果给出四个柱子a、b、c、d，那么将n个圆盘从a移动到d的最少步骤如何求解？
这是在基于经典汉诺塔问题上的一个四柱汉诺塔问题，我们设置F[n]记录将n个圆盘从a移动到d的最少步骤，下面我们不妨模拟一下游戏过程。
1.我们先将x个圆盘从a依靠b、d移动到c，x∈[1,n-1]，这其实等效于将其从a依靠b、c移动到d，则步数为F(x)。
2.将n-x个圆盘从a依靠c移动到d，由于大小原因，c柱是不能使用的，因此这是一个经典的三柱汉诺塔，步骤为2^(n-x) - 1.
3.将位于c柱上的x个圆盘，从c依靠a、b移动到d上，步骤为F(x).
经过上面的步骤，对于x取区间[1,n-1],我们会得到一系列的解，加上最少步骤的限制，由此我们可知：f[n] = min(2*f[x] + 2^(n-x)-1 | x∈[1,n-1])。
变式4：基于最经典的三柱汉诺塔，n个圆盘，求解第k大圆盘移动了几步？
我们回忆在经典三柱汉诺塔问题中的分析，对于a、b、c三个柱子，首先需要借助c柱子，将n-1个圆盘移动到b，然后将第n个圆盘移动到c，随后将n-1个圆盘借助a从b移动到c，整个过程中，第n个圆盘移动了一次。
我们再进一步的模拟这个递归过程，从n-1个圆盘的移动这个角度。将n-1个圆盘从a借助c移动到b过程中，我们需要将n-2个圆盘借助b移动到c，随后将第n-1个圆盘移动到b，这里第n-1个圆盘移动了一次，同理，随后将n-1个圆盘借助a从b移动到c，第n-1个圆盘也移动了一次。由此我们可以猜想，设f[k]表示n个圆盘的三柱汉诺塔第k大的圆盘移动的次数，有f[k] = 2f[k+1]，或者写成f[k] = 2^(n-k)。
关于这个猜想的证明，其实在关于这个猜想的给出过程中就是含变量的，也就是说可以直接推出来的，如果你还觉得不够，我们对于n个圆盘的三柱汉诺塔，可基于这个猜想将n个圆盘移动次数写出：2^0 , 2^1 , ……，2^n-1.通过等比数列求和公式，容易看到总步数为2^n - 1，这与我们之前得出的结论是自洽的，由此足见猜想的正确性。
变式5：对于有3个柱子n个圆盘的汉诺塔，问：n个圆盘在三个圆柱上有多少种分配方式？
其实这个变式仅仅就是基于汉诺塔的一个组合计数问题了，和递推已经没太大的关系。需要明确的是，三个柱子的位置不同，因此这里应该认定三个柱子是互不相同的。基于此，每个圆盘有3种情况，最终的总数即为3^n。
约瑟夫环问题。
这个问题也是有个很有意思的历史起源：“传说如果不是由于他的数学天赋，约瑟夫不会活到出名的那一 天．在犹太罗马战争期间，他们41名犹太反抗者困在了罗马人包围的洞穴中．这些反抗者宁 愿自杀也不愿被活捉，于是决定围成一个圆圈，并沿着圆圈每隔两个人杀死一个人，直到剩 下后两个人为止．但是，约瑟夫和一个未被告发的同谋者不希望无谓地自杀，于是他迅速 计算出他和其朋友在这个险恶的圆圈中应该站的位置。”
我们先将将这个问题抽象化成数学模型：即将n个人围成一圈，从n开始每隔1个人杀死一个，那么求解最终活下来的那个人的起始编号？
这个问题似乎进行模拟运算是可解的，但是过程太过繁杂丑陋，我们需要一些更加漂亮的数学技巧。
我们以n = 10为例来模拟这个过程，我们绕着圆周筛选一次，则2、4、6、8、10被删除，剩余1、3、5、7、9，为了方便新一轮的筛选，我们此时进行重新编号。
1 -> 1
3 -> 2
5 -> 3
7 -> 4
9 -> 5
我们设置J(n)表示约瑟夫问题的解，通过上述问题的转化我们发现，我们在模拟求解J(n)的时候，生成了一个子问题，而这个子问题又可以转化成另外一个完全独立的问题，也就是在求解J(10)的过程中，我们形成了一个1、3、5、7、9作为环的子问题，而我们又将这个子问题转化成了求解J(5)，基于原问题和子问题具有同解性，再基于将子问题转化成J(5)的过程，我们容易建立起J(10)和J(5)的递推关系，即：J(10) = 2J(5) - 1。
由此我们不难进行推广，J(2n) = 2J(n) - 1。
其实讲到这里，如果理解了的话，其实掌握了解决约瑟夫环问题的核心思维了，虽然此时我们对于奇数情况还没有讨论。
我们基于这种思维，进行一个推广，对于n个人，从1开始，每次删掉m的整数倍，该如何求解呢？
类似上文的思路，这次我们缩短我们的脚步，不要一次删掉一圈再进行子问题转化，而删掉一个数后就进行子问题转化。以n = 10，m = 3为例。
第一次删除：3。
删除后的结果：1、2、4、5、6、7、8、9、10。
转化子问题：1 -> 8
2 -> 9
4 -> 1
5 -> 2
6 -> 3
7 -> 4
8 -> 5
9 -> 6
10-> 7
我们容易看到，J(10) = (J(9) + 3) %10，我们也不难找到推广规律——J(n) = (J(n-1) + m)%n。
然后基于J(1) = 1，我们便可以对所有问题进行递推求解。