2019/7/31 LCA(最近公共祖先) (1)

　　　LCA(最近公共祖先)

　   LCA，Lowest Common Ancetors，即最近公共祖先。

百度百科定义：“对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先  表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。”

　 什么是LCA？

　    对于一些朋友来说百度百科式的介绍不是很友好，我们在这里形象实际地说明一下什么是LCA。

　    这是一颗树(原谅我手残)

                                       

　     对于u:结点6，v：结点11，根据定义，我们不难找出u，v各自的祖先(父结点)。(顺序由深至浅)

　 　　 　　u(结点6)：结点3(深度3)，结点2(深度2)，结点1(深度1)。

　  　　　　v(结点11)：结点9(深度4)，结点7(深度3)，结点2(深度2)，结点1(深度1)。

　    基于LCA定义中“公共”一词，u、v的公共祖先为结点2、结点1。而其中深度最深的结点2即为u(结点6)与v(结点11)的LCA。

　    而从图上来看，从u/v结点到根结点路径上的所有点都为u/v结点的祖先，而两条路径第一次交汇处的结点即为u与v的LCA。

　 如何求任意两点间LCA？

　    主流算法共有4种：

• 倍增

• Tarjan

• RMQ(ST表+欧拉序列)

• 树链剖分

　    其中倍增法较为基础，Tarjan较难理解，RMQ较少见但容易理解，树剖在下并不会(以后再更新绝对不鸽)。

　    今天我们来研究RMQ(ST表+欧拉序列)求LCA。

　 RMQ(ST表+欧拉序列)求LCA

　    前置知识：

• ST表(DP)

• DFS

• 链式前向星

　　梗概：此种方法是通过求出给定树的欧拉序列，通过构造ST表进行给定两点间区间RMQ查询，求出给定两点LCA。

　　时间复杂度：预处理O(n^2),询问O(1)。

　　1.欧拉序列

　　定义：树的欧拉序是对树进行DFS的一种序列。 有两种形式： 1、在每个结点进和出都加进序列。 2、只要到达每一个结点就把他加进序列。

　　第一种欧拉序列用于树上求和等问题，我们暂且不讲。后一种则是用于求两点LCA等问题。

　　还是这棵树(原谅我手残)：

                                               

 　   对这棵树进行DFS，能够得到对于这棵树的欧拉序列。

　　               

　　　　　　                    树上路径                                                               实际访问路径

　　欧拉序列：1->2->7->8->7->10->13->10->12->10->7->9->11->9->7->2->3->6->3->5->3->4->3->2->1

　　（值得注意的是由于DFS开始方向不同，欧拉序列整体顺序可能相反）

　　性质：我们可以发现在欧拉序列中，从树上一点u第一次出现到树上另一点v第一次出现需要遍历u结点所有子树，并回到u结点，进行回溯，遍历u->v树上路径。

　　而对于这两点的LCA，不难发现LCA一定位于u->v树上路径上且LCA一定是树上路径中最浅结点。由此可以推出，在某颗树的欧拉序列中，给定点u与给定点v的LCA是u在欧拉序列中第一次出现位置与v在欧拉序列中第一次出现位置间形成的区间中深度最浅的点。

　　(eg.对于上图树中结点6与结点11，其在欧拉序列中形成区间为11->9->7->2->3->6，深度分别为5->4->3->2->3->4，LCA即为最浅点结点2(深度2)。)

　　P.S.  实际实现时注意两结点第一次出现位置的大小，可能需要交换顺序。　

　　2.ST表

　　原理我们暂且不讲，不了解的同学可以先将它理解为一种快速查找给定区间最大/最小值(区间RMQ问题)的算法。

　　在求LCA的过程中，我们所需的ST表与普通ST表略微不同。因为我们在查找最小值时还需要查找此最小值对应的结点编号，以此直接求出LCA。

　　此问题的解决方法也比较简单，设定一个rec[ ]数组，使其在st表结构数组st[ ]更新时同步更新，查找时比较数组st[ ]得到某一结点深度最浅并返回此结点对应数组rec[ ]中的结点编号。

　　至此，我们对此算法原理研究结束。

　　3.代码实现

　　上代码！

　　声明部分：

#include <iostream>
#include <cstdio>//标准输入输出
#include <cmath>//用于ST表中求解log
using namespace std;
int n,m,s,cnt,tot;// s:根结点，cnt:链式前向星，tot:总欧拉序列长度
int head[1000005];//链式前向星不解释
int depth[1000005];//记录当前结点深度
int num[1000005];//记录结点第一次出现位置
int rec[2000005][20];//查询数组
int st[2000005][20];//ST表结构数组
int euler[1000005];//欧拉序列数组
//int dp[1000005];求结点深度数组 
//int wd[1000005];求某一深度树的宽度数组

　　链式前向星存边：

struct edge
{
    int nxt;
    int to;
    //int dis;边权值//在本示例中默认边权为1
}e[4000005];//建议开4倍数组
void add(int x,int y/*,int d*/)
{
    e[++cnt].nxt=head[x];
    //e[cnt].dis=d;
    e[cnt].to=y;
    head[x]=cnt;
}    

　　DFS：

void dfs(int x,int dep)//x为当前结点，dep为当前结点深度
{

    num[x]=++tot;//记录x结点第一次出现位置
    depth[tot]=dep;//对应深度
    euler[tot]=x;//记录序列
    //dp[x]=max(dp[x],depth[tot]); //求某一结点深度
    //cout<<"#访问结点:"<<x<<"   depth数组:"<<depth[tot]<<endl;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)//遍历边
    {
        int p=e[i].to;
        if(num[p]==0)//p结点如未出现
        {
            dfs(p,dep+1);//遍历
            euler[++tot]=x;//回溯后记录序列
            depth[tot]=dep;//记录对应深度
        }
    }
    return ;
}

　　ST表求RMQ：

void RMQ(int N)//N:欧拉序列长度
{
    for(int j=1;j<=(int)(log((double)N)/log(2.0));j++)
    {
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            if(i+(1<<j)-1<=N)
            if(st[i][j-1]<st[i+(1<<(j-1))][j-1])//同步更新rec[ ]数组
                st[i][j]=st[i][j-1],rec[i][j]=rec[i][j-1];
            else 
                st[i][j]=st[i+(1<<(j-1))][j-1],rec[i][j]=rec[i+(1<<(j-1))][j-1];
        }
    }
}

int search(int l,int r)
{
    int k=(int)(log((double)(r-l+1))/log(2.0));
    if(st[l][k]<st[r-(1<<k)+1][k])//比较后返回rec[ ]数组对应结点编号
    return rec[l][k];
    else
    return rec[r-(1<<k)+1][k];
}

　　主函数：

int main()
{
    cin>>n>>m>>s;
    for(int i=1;i<=n-1;i++)//读边
    {
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        add(a,b);//无向图正反存边
        add(b,a);
    }
    dfs(s,1);//开始遍历
    for(int i=1;i<=tot;i++)//初始化
    {
        st[i][0]=depth[i],rec[i][0]=euler[i];
    }
    RMQ(tot);//构建ST表
    /*//接下来是不必要部分//当初死在了这里
    int dcnt=0,maxx=0;//dcnt：树的最大深度，maxx：树的最大宽度
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        wd[dp[i]]++;//统计所有深度为dp[i]的结点求出当前深度的树宽度
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(wd[i]==0)
        {
            break;
        }
        dcnt++;//统计最大深度//笨方法
    }
    for(int i=1;i<=wcnt+1;i++)
    {
        maxx=max(maxx,wd[i]);//求最大宽度
    }
36     */
    for(int i=1;i<=m;i++)//查询部分
    {
        int l,r,fg=0;//l：结点u，r:结点v，fg：交换标志
        scanf("%d %d",&l,&r);
        if(num[l]>num[r])//交换
        {
            swap(num[l],num[r]);
            fg=1;//交换后标记
        }
        printf("%d
",search(num[l],num[r]));//查询并输出
        if(fg==1)//交换回来！！！！！记得交换回来！！！！！//p.s.2019/7/29模拟赛爆0 R.I.P
        swap(num[l],num[r]);
    }
    return 0;
}

　　结语

　　LCA问题较为常见，应至少掌握一种方法。

　　拓展：

　　此种思想也可用于求树(最大)宽度/深度，树上距离，三点LCA等问题。

　　相关题目

　　洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

　　洛谷 P3884  [JLOI2009]二叉树问题　　

　　洛谷 P4281 [AHOI2008]紧急集合 / 聚会（三点LCA）

　　//暂时只想到这么多·········

　　Q.E.D.(大雾)

　　P.S.

　　由于是萌新第一次撰写题解，在语言及思路等方面定会有不足之处，请大家多多包涵，也欢迎各位大佬指正。