LIS(最长上升子序列)(含等于的是最长不上升子序列)
vj atcoder 上的板子题
首先介绍下(O(n^2))的dp
首先单独一个数我们直接把他看成就是一个子序列,这个子序列的LIS就是1.我们用一个DP[i]记录从之前到i的LIS,不难得到状态转移方程dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1) ( j=[1,i-1])
试想一下,1 3 2 5 1 4 每次跑i就找之前的子序列有没有那个子序列的最大值比a[i]###还小的,有的话直接把a[i]加入,如果没有的话就把他单独弄成一个新的子序列 dp[i]=1
dp[1]=1 子序列1
dp[2]=2 子序列1 3
dp[3]=2 子序列1 3 和子序列1 2
dp[4]=3 子序列1 2 5和1 3 5
dp[5]=1 子序列就是1,之前没有找到比他小的就单独创建
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=4e5+7;
#define ll long long
int a[maxn];
int dp[maxn];
int n;
int main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%d",a+i);
}
int ans=0;
memset(dp,0,sizeof (dp));
dp[1]=1;///初始化
for (int i=1;i<=n;++i)
{
for (int j=1;j<i;++j)///找寻之前的是否可以合并
{
if (a[i]>a[j])
{
ans = max(ans,dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1));
}
}
ans=max(ans,dp[i]=max(dp[i],1));///判断是否加入原来的子序列,否则直接以a[i]单独创建一个子序列
}
printf("%d
",ans);
return 0;
}
其实O(n^2)的复杂度属实大,很容易被卡,所以接下来带来一种树状数组的解法(如果不会树状数组或者不会维护区间最值的请点此)
其实dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1) ( j=[1,i-1])这个状态转移方程每次都要往之前查找一遍
不妨直接用树状数组储存LIS数据,然后按照输入数据从大到小进行排列
query查询1到当前位置之间的最大lis,向后直接更新包括当前位置的lis,由于数据直接是从小到大,不影响之后比他大的数更新lis
以输入值为第一权值,以排序位置作为第二权值排序
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=4e5+7;
#define ll long long
struct Node{
int xx,yy;
bool operator <(const Node&rhs)const {
return xx==rhs.xx?yy<rhs.yy:xx<rhs.xx;
}
}a[maxn];
int c[maxn]={0};
const int INF=0x3f3f3f3f;
inline int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
int query(int x)///求区间1-x之间的最大值
{
int res=-INF;
for(;x;x-=x&(-x)) res=max(res,c[x]);///由于是求1-x所以一定满足y-lowbit(y)>x无需像之前一样特判
return res;
}
void modify(int idx,int math,int k)///修改 k是边界 idx修改地址 math修改值
{
for(;idx<=k;idx+=idx&(-idx)) c[idx]=max(c[idx],math);///修改的时候只是遍历所有包含位置idx的值
}
///这两种都可以过
void modify(int idx,int math,int k)///修改 k是边界 idx修改地址 math修改值
{
c[idx]=math;
while (idx<=k)
{
///该区域肯定要包括自己,所以首先把自己加入进去
for (int i=1;i<lowbit(idx);i<<=1)///直接枚举
{
c[idx]=max(c[idx],c[idx-i]);
}
idx+=lowbit(idx);
}
}
int main()
{
memset(a,0,sizeof(a));
memset(c,0,sizeof(c));
int n;
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;++i)
{
cin>>a[i].xx;
a[i].yy=i;
}
sort(a+1,a+1+n);
int ans=0;
for (int i=1;i<=n;++i)
{
int maxx=query(a[i].yy);///找到a[i]所在编号之前最大的lis
modify(a[i].yy,++maxx,n);///更新在此之前的编号的lis
ans=max(ans,maxx);
}
printf("%d
",ans);
return 0;
}
##懒得去重了