赶赴王都[暴力骗分的做法+正解]

在利贝尔王国王都格兰赛尔正处于一场危机当中，获得消息的小约和小艾正打算赶赴那里，阻止这场阴谋。但是在出发前，他们发生了分歧，小艾希望走最短路，以尽快到达王都，而小约则希望多走不同的道路，以收集情报。后来，他们想到了折衷的办法，选一条路径，使得总路程除以道路数的商最小（即边权平均值最小）。

输入：给出利贝尔王国的地图。

第一行为两个整数n，m。表示共n个地点，其中1为小约和小艾的出发点，n为王都。另有m条道路连接这些地点。

     接下来m行，每行3个整数x，y，z，描述一条有向道路。表示x到y有一条长度为z的道路。数据保证，不会出现环，且至少有一条从1到n的路。但两个地点之间可能有多条道路。

     输出：只有一个实数，即最小边权平均值。答案保留两位小数。

     样例输入：4 6

1 2 1

2 4 6

1 3 2

3 4 4

2 3 3

1 4 8

              

     样例输出：2.67

     数据范围：30% 的数据1<=n<=20，1<=m<=20

               100%的数据1<=n<=10^3,，1<=m<=20000 ，其余数据在[0,10^3]。

据40大神说是01分数规划= = 人弱不会> <

但是，学习了一下这题的暴力做法，觉得还是有启发的；

dist[i][j]表示的从1~i,走过j条边的最小值；

vis[i][j]类推；

还是一遍spfa，但是因为dist是二维的，还记录了走过了多少条边，需要转移边的个数，所以写起来也有小小的区别；

首先queue,因为你入队的有第几个结点，和走过多少条边，所以queue 定义为node

之后同理，松弛操作的时候 多一个转移边的个数即可；

具体的看程序：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn=1001,maxm=20001;
int dist[maxn][maxm],vis[maxn][maxm];
int n,m;
struct edge{
	int to,w;
	edge(int _to,int _w){to=_to;w=_w;}
};
vector <edge> g[maxm];
int x,y,z;
double minx=1234567844.0;
struct node{
	int x,num;
	node(int _x,int _num){x=_x;num=_num;}
};
queue <node> q;

void spfa(int x){
	memset(dist,63,sizeof(dist));
	dist[1][0]=0;
	vis[1][0]=1;
	q.push(node(1,0));
	
	while(!q.empty()){
		node temp=q.front();//注意这里； 
		q.pop();
		int u=temp.x;
		vis[u][temp.num]=0;
		int l=g[u].size();
		for(int i=0;i<l;i++){
			int v=g[u][i].to;
			if(dist[v][temp.num+1]>dist[u][temp.num]+g[u][i].w){
				dist[v][temp.num+1]=dist[u][temp.num]+g[u][i].w;
				if(!vis[v][temp.num+1]){
					q.push(node(v,temp.num+1));
				}
			}
		} 
	}
}

int main(){
	freopen("troops.in","r",stdin);
	freopen("troops.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		g[x].push_back(edge(y,z));
	}
	spfa(1);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		double ans=dist[n][i]/(i+0.0);
	    if(ans<minx) minx=ans;
	}
	printf("%.2f",minx);
	return 0;
}

这题的正解是01分数规划。之前某位大神有跟我讲过这个问题，但是由于他讲得太深奥（一定是我太傻逼），一直觉得01分数规划是一个奇怪的东西.....还好看题解看明白了恩

正解：

事实上，要使平均值最小是很困难的，相反，如果知道平均值，求是否存在一条路径的平均值不大于这个值却不困难。所有边权都减去这个平均值，再套用可以处理负权的算法（如spfa），最后判断最短路径长度是否小于等于0即可。同时题目保证无环，不需要处理负环的情况。

现在的问题就只剩如果确定这个平均值。不难发现，我们上面的定义是满足二份性质的（因为如果平均值增大，则所有新图的边权都减少，最短路径长度必然减小，反之亦然）。

那么总的算法就是先二分答案，然后spfa判断。总时间复杂度是O(km log ans)。其中ans是答案最大值，k是spfa的常数。

（和前几天写的搭电线的那题挺像的= = 其实就是二分+spfa验证答案....）

哦顺便提一下，我是打暴力打过的，据40说正解的二分答案如果是while(r-l<0.001)会出现精度问题...所以要小心（但是暴力就没有这样的问题了）

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int INF = 2147483647,maxn = 10005,maxm = 200005;

struct edge{
  int to,nxt,v;
}G[maxm*2];

int n,m,tot,first[maxn],b[maxn];
double dis[maxn];

void add(int x,int y,int v){
  G[++tot].nxt = first[x]; first[x] = tot; G[tot].to = y; G[tot].v = v;
}

queue<int>d;

bool spfa(double x){
  for(int i=1;i<=n;i++)dis[i] = 345676542;
  memset(b,0,sizeof(b));
  d.push(1);
  dis[1] = 0;
  b[1] = 1;
  while(!d.empty()){
    int tmp = d.front();d.pop();b[tmp] = 0;
    for(int i=first[tmp];i;i=G[i].nxt)
      if(dis[G[i].to]>dis[tmp]+G[i].v-x){
        dis[G[i].to] = dis[tmp] + G[i].v - x;
        if(!b[G[i].to])d.push(G[i].to),b[G[i].to] = 1;
      }
  }
  if(dis[n]<0)return 1;else return 0;
}

int main(){
  //freopen("data","r",stdin);
  freopen("run.in","r",stdin);
  freopen("run.out","w",stdout);
  scanf("%d%d",&n,&m);
  int x,y,v;double l = 0,r = 0;
  for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&x,&y,&v),add(x,y,v),r = max(r,(double)v);
  for(int k=1;k<=100;k++){
    double mid = (l+r)/2;
    if(spfa(mid))r = mid;else l = mid; 
  }
  printf("%.2lf",l);
  return 0;
}