最小表示法

参考资料

约定：

字符串的下标从 \(0\) 开始。\(|s|\) 表示字符串 \(s\) 的长度。
对于字符串 \(s\)，记其每一个字符分别为 \(s_0, s_1, \cdots, s_{|s|-1}\)。
子串 \(s_l, s_{l+1}, \cdots, s_{r-1}, s_r\) 简记为 \(s[l:r]\)。特别地，若 \(l=0\)，可记作 \(s[:r]\)；若 \(r=|s|-1\)，可记作 \(s[l:]\)。
对于字符串 \(a, b\)，\(a+b\) 表示拼接操作，即将字符串 \(b\) 拼接到字符串 \(a\) 之后，构成新的字符串。
记构成的新字符串为 \(c\)，则上述拼接操作记为 \(c\gets a+b\)。
其中符号 \(x\gets y\) 表示将 \(y\) 的值赋给 \(x\)。
不论是字符还是字符串，皆不加引号。
本文中的加法均在模意义下进行。

模板题
若 \(\exist i,\ 1\leqslant i\leqslant |s|-1,\ t=s[i:]+s[:i-1]\)，称 \(s\) 和 \(t\) 互为循环同构串。
我们要求的是字符串 \(s\) 的所有循环同构串中字典序最小的一个，并称其为最小表示。
方便起见，记 \(s\left<i\right>=s[i:]+s[:i-1]\) ，即以 \(i\) 为开始的循环同构串。

暴力比较显然不行，我们要利用循环同构串的性质。
比如我们在比较 \(s\left<i\right>\) 和 \(s\left<j\right>\)，在第 \(k+1\) 位首次出现不同，不妨设 \(s_{i+k}>s_{j+k}\)。
此时，\(\forall l,\ 0\leqslant l \leqslant k\)，均有 \(s\left<i+l\right>\) 不是最小表示，因为一定有 \(s\left<j+l\right>\) 比其更优。
因此，出现这种情况时，直接从 \(s\left<i+k+1\right>\) 开始比较即可。这样我们就完成了优化。

code:

int i=0,j=1,k=0;
while(i<n&&j<n&&k<n)
{
    if(s[(i+k)%n]==s[(j+k)%n]){k++;continue;}//相等则比较下一位
    if(s[(i+k)%n]<s[(j+k)%n])j=j+k+1;//利用性质进行优化
    else i=i+k+1;
    if(i==j)j++;//我们要保证i和j始终不相等
    k=0;//更换了i和j，我们要从头进行比较
}
ans=min(i,j);

时间复杂度为 \(O(n)\)。因为 \(i,\ j\) 始终在增加（\(k\) 增加也相当于是 \(i\) 或 \(j\) 在增加了）