（学习13）最短圆排列问题

问题描述：

给定n个圆的半径序列，将它们放到矩形框中，各圆与矩形底边相切，求具有最小排列长度的圆排列。

问题解析：

根据示例：

 

可得两个圆之间的距离计算为:sqrt((r₁+r₃)²-(r₁-r₃)²)，即 2*sqrt(r₁*r₃)

由于当前的圆不一定恰好与它前面的圆相切，故我们可以通过计算当前圆与其前面所有圆的距离，得到的最大结果即当前圆的横坐标值。

搜索树：叶子节点即所有结果集

 

设计

计算方法:

核心伪代码

 

double calCircleCenter(int n){//计算圆心坐标
    for(int i=1;i<n;i++){
       因为当前该圆可能与排在其前面的所有圆相切
       所以需要逐个计算与不同圆相切的情况。
    }
     返回圆心横坐标值
}

void calCircleSortLength(){//计算圆排列的总长度
    double low=99999,high=0;
for(int i=1;i<=CIRCLENUM;i++){
//分别找出改序列的起点值与终点值
//该问题可以抽象成找出圆的横坐标减去其半径值，通过遍历所有圆，找出计算结果最小的，即第一个圆。而终点值即最后一个圆的横坐标值加上其半径值，得到的最大结果即该圆序列的终点值。
        if(x[i]-r[i]<low){
            low=x[i]-r[i];
        }
        if(x[i]+r[i]>high){
            high=x[i]+r[i];
        }
    }
    if(high-low<minLen){
        minLen=high-low;
        for(int i=1;i<=CIRCLENUM;i++){//保存当前的最短圆序列
            circleSeq[i]=r[i];
        }       
    }
}


void findCircleSort(int n){ //查找圆排列
if(n==CIRCLENUM+1){
//若已经搜索完查找树的最后一层，说明已经形成一个结果
可以计算该结果的圆序列长度
        calCircleSortLength();
    }
    for(int i=n;i<=CIRCLENUM;i++){//搜索所有可能性的结果
        swap(r[n],r[i]);
        double center=calCircleCenter(n);//获取圆当前的横坐标
        x[n]=center;
        findCircleSort(n+1);//向下继续搜索
        swap(r[n],r[i]);//回溯
    }
}

 

 

实现代码

//
//  main.cpp
//  circleSort
//
//  Created by yizhihenpidehou on 2020/6/4.
//  Copyright © 2020 yizhihenpidehou. All rights reserved.
//

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <cmath>
using namespace std;
const int CIRCLENUM =3;
double x[200];//存放每个圆的x轴位置
double r[200];//存放每个圆的半径
double circleSeq[200];//存放最短圆序列的半径
int minLen=999999;//存放最短圆排列长度
double calCircleCenter(int n){//计算圆心坐标
    double maxx=0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int num=x[i]+2.0*sqrt(r[i]*r[n]);
        if(num>maxx){
            maxx=num;
        }
    }
    return maxx;
}
void calCircleSortLength(){//计算圆排列的总长度
    double low=99999,high=0;
    for(int i=1;i<=CIRCLENUM;i++){
        if(x[i]-r[i]<low){
            low=x[i]-r[i];
        }
        if(x[i]+r[i]>high){
            high=x[i]+r[i];
        }
    }
    if(high-low<minLen){
        minLen=high-low;
        //printf("输出最短圆序列
");
        for(int i=1;i<=CIRCLENUM;i++){
            circleSeq[i]=r[i];
        }
      //  printf("
");
    }
}
void findCircleSort(int n){ //查找圆排列
    if(n==CIRCLENUM+1){
        calCircleSortLength();
    }
    for(int i=n;i<=CIRCLENUM;i++){
        swap(r[n],r[i]);
        double center=calCircleCenter(n);//获取圆当前的横坐标
        x[n]=center;
        findCircleSort(n+1);//向下继续搜索
        swap(r[n],r[i]);//回溯
    }
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    r[1]=1;r[2]=1;r[3]=2;//初始化半径
    findCircleSort(1);
    printf("最短圆序列:
");
    for(int i=1;i<=CIRCLENUM;i++){//输出最短圆序列
        printf("%f ",circleSeq[i]);
    }
    printf("
");
    return 0;
}

算法复杂度

因为根据不同的排列方法取最小长度的圆排列，所以根据全排列公式要进行n!次查找，由于每次完成一个结果集后，还要找到起点值与终点值，即需要O((n+1)!)的时间复杂度

空间复杂度为O(n)，因为该算法中只用到几个一维数组