（学习10）贪心算法之相容问题

问题描述

相容问题：有一个礼堂需要用于举办活动，每个活动有开始时间与结束时间；如果任何两个活动不能在礼堂中同时进行，问如何选择这些活动，使得能在礼堂中安排最多活动；

解析：

贪心策略1：活动按照结束时间进行升序排序：

从第一个活动开始向后选择，若当前活动与前一个活动相容(f_i-1<=s_i)

活动序号 i	1	2	3	4	5	6
开始时间si	1	2	2	4	6	8
结束世界fi	2	3	4	6	12	12

选择活动1:这是结束最早的活动

选择活动2：因为s₂==f₁，与活动1相容，即纳入安排

不选择活动3:因为s₃<f₂,与活动2不相容，所以不纳入安排

选择活动4：因为s₄>f₂，与活动2相容，所以纳入安排

选择活动5：因为s₅>f₄，与活动4相容，所以纳入安排

不选择活动6：因为s₆<f₅，与活动5不相容，所以不纳入安排

 策略一在这个问题上被证明是可行正确的，具体证明较为复杂，可以自行研究

贪心策略2：按照开始时间进行排序：

活动序号 i	1	2	3	4	5	6
开始时间si	1	2	2	4	6	8
结束世界fi	2	3	4	6	12	12

选择活动1:这是结束最早的活动

选择活动2：因为s₂==f₁，与活动1相容，即纳入安排

不选择活动3:因为s₃<f₂,与活动2不相容，所以不纳入安排

选择活动4：因为s₄>f₂，与活动2相容，所以纳入安排

选择活动5：因为s₅>f₄，与活动4相容，所以纳入安排

不选择活动6：因为s₆<f₅，与活动5不相容，所以不纳入安排

 

 

反例：

活动序号 i	1	2	3	4	5	6	7
开始时间si	1	1	2	2	4	5	6
结束世界fi	2	3	3	4	7	6	8

 

而最优策略:

活动序号 i	1	2	3	4	5	6	7
开始时间si	1	1	2	2	4	5	6
结束世界fi	2	3	3	4	7	6	8

 

 

贪心策略3：按照活动时间进行排序：

活动序号 i	1	2	3	4	5	6
开始时间si	1	2	2	4	8	6
结束世界fi	2	3	4	6	12	12

 

选择活动1:这是活动时间最少的活动

选择活动2：因为s₂==f₁，与活动1相容，即纳入安排

不选择活动3:因为s₃<f₂,与活动2不相容，所以不纳入安排

选择活动4：因为s₄>f₂，与活动2相容，所以纳入安排

选择活动5：因为s₅>f₄，与活动4相容，所以纳入安排

不选择活动6：因为s₆<f₅，与活动5不相容，所以不纳入安排

 

贪心策略3反例：

活动序号 i	1	2	3
开始时间si	7	4	8
结束世界fi	9	8	14

 

而最优策略:

 

活动序号 i	1	2	3
开始时间si	7	4	8
结束世界fi	9	8	14

 

针对策略一的伪代码设计

S={1};
//还需对活动按照结束时间进行升序排序
for (i=2;i<=n;i++){
     if si>=fj{
         append(S,i);//将该活动放到集合S中
         j=i;
    }
}
    return S;

复杂度分析：O（nlogn）

源代码：

//
//  main.cpp
//  作业10
//
//  Created by yizhihenpidehou on 2020/4/28.
//  Copyright © 2020 yizhihenpidehou. All rights reserved.
//

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
struct A{
    int s;//开始时间
    int e;//结束时间
}Act[200];
bool cmp(struct A a,struct A b){
    return a.e<b.e;
}
void greedy(struct A* a,int n,int ap[]){
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    ap[1]=1;
    int j=1;//记录最新纳入计划的活动的序号
    int count=1;//记录有几个活动纳入计划
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(a[i].s>=a[j].e){//若当前活动与已纳入的最新活动兼容，则纳入计划
            ap[++count]=i;
            j=i;
        }
    }
    for(int i=1;i<=count;i++){
        printf("%d ",ap[i]);
    }
    printf("
");
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    Act[1].s=1;Act[1].e=2;
    Act[2].s=2;Act[2].e=3;
    Act[3].s=2;Act[3].e=4;
    Act[4].s=4;Act[4].e=6;
    Act[5].s=8;Act[5].e=12;
    Act[6].s=6;Act[6].e=12;
    int ap[200]={0};
    greedy(Act,6,ap);
    return 0;
}