动态规划-最长公共子序列LCS

0 问题

给定两个字符串，求最长公共子序列LCS。

也就是说两个字符串中都有的部分，或者理解为，两个字符串同时都删除字符串中的某些字符，使得最终的两个字符串，相等，且是最长的。

1 分析

假设两个str1，str2字符串，已经知道了最长公共子序列长度为L

那么，当在str1和str2，两个的尾部，同时添加一个相同的字符，比如a，那么新的str1，和str2的最长公共子序列长度就是L+1

当str1后面添加一个字符，str2不添加，那么最长公共子序列长度为L

反之，str1不添加，str2添加，那么也是L

当同时添加一个字符，但是添加不同的字符，那么长度仍为L

因此，可以考虑

int lcs(string str1, string str2)
{
    int len1 = str1.size();
    int len2 = str2.size();

    // memo[i][j] 中记录的是，字符串从第0个字符开始，长度为i，或是j的子数组的lcs长度
    vector<vector<int>> memo(len1 + 1, vector<int>(len2 + 1, 0));

    // i,j都是长度，表示从第0个字符开始长为i或j的子字符串
    // 因此使用的是 str1[i - 1] == str2[j - 1] 来比较
    // i,j都不断的递增，则可认为是不断的添加字符
    for (int i = 1; i <= str1.size(); ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= str2.size(); ++j)
        {
            if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
            {
                // 当两个字符相同的时候，就认为，是比之前的子数组的lcs长度大1
                memo[i][j] = memo[i - 1][j - 1] + 1;
            }
            else
            {
                // 如果新添加的两个字符不相同，那么取之前的 L 
                // 但是可能是str1 加字符得来的，也可能是str2 加字符得来的，因此需要取两个前状态的lcs的长度最大值
                if (memo[i - 1][j] > memo[i][j - 1])
                {
                    memo[i][j] = memo[i - 1][j];
                }
                else
                {
                    memo[i][j] = memo[i][j - 1];
                }
            }
        }
    }
    return memo[len1][len2];
}

　　

或者说，也可以这样考虑，

str1，和str2，当最后一个字符相同，那么，str1，和str2的最长公共子序列的长度应该是，str-1和str2-1的最长公共子序列长度+1

当最后一个字符不相同的时候，那么，str1，和str2的最长公共子序列的长度应该是（str1-1和str2）与（str1和str2-1）的最长公共子序列长度的较大的那个。

但是这样计算大量相同的问题，因此加上memo

int aux_lcs_d(string str1, int l1, string str2, int l2,vector<vector<int>> &memo)
{
    if (l1 < 0 || l2 < 0)
    {
        return 0;
    }
    if(memo[l1][l2] != 0)
    {
        return memo[l1][l2];
    }
    if (str1[l1] == str2[l2])
    {
        memo[l1][l2]= aux_lcs_d(str1, l1 - 1, str2, l2 - 1,memo) + 1;
        return memo[l1][l2];
    }
    else
    {
        memo[l1][l2]= max(aux_lcs_d(str1, l1, str2, l2 - 1,memo), aux_lcs_d(str1, l1 - 1, str2, l2,memo));
        return memo[l1][l2];
    }
}

int lcs_d(string str1,string str2)
{
    vector <vector<int>> memo(str1.size(),vector<int>(str2.size(),0));
    return aux_lcs_d(str1, str1.size()-1, str2, str2.size()-1,memo) ;
}

　　

以上就是计算lcs长度的思路.

当需要计算出完成的路径时。添加一个额外的容器，记录，每个状态是怎么从前一个状态转移过来的

int aux_lcs_d(string str1, int l1, string str2, int l2,vector<vector<int>> &memo,vector<vector<int>> &path)
{
    if (l1 < 0 || l2 < 0)
    {
        return 0;
    }
    if(memo[l1][l2] != 0)
    {
        
        return memo[l1][l2];
    }
    if (str1[l1] == str2[l2])
    {
        path[l1][l2]='0'; // 这个表示从str1 ，str2同时增长来的
        memo[l1][l2]= aux_lcs_d(str1, l1 - 1, str2, l2 - 1,memo,path) + 1;
        return memo[l1][l2];
    }
    else
    {
        int tmp1=aux_lcs_d(str1, l1, str2, l2 - 1,memo,path);
        int tmp2=aux_lcs_d(str1, l1 - 1, str2, l2,memo,path);
        memo[l1][l2]= max(tmp1,tmp2);
        
        if(tmp1==memo[l1][l2])
        {
            // 表示从 str2 增长来的
            path[l1][l2]='2';
        }else{
            // 从str1 增长来的
            path[l1][l2]='1';
        }
        return memo[l1][l2];
    }
}