变换矩阵 及 可视化

变换矩阵是数学线性代数中的一个概念。

在线性代数中，线性变换能够用矩阵表示。如果T是一个把Rⁿ映射到R^m的线性变换，且x是一个具有n个元素的列向量，那么

${displaystyle T({vec {x}})=mathbf {A} {vec {x}}}$

我们把m×n的矩阵A，称为T的变换矩阵。

在单位方块上应用各种二维仿射变换矩阵的效果。

最为常用的几何变换都是线性变换，这包括旋转、缩放、切变、反射以及正投影。在二维空间中，线性变换可以用2×2的变换矩阵表示。

旋转

绕原点逆时针旋转 θ 度角的变换公式是 ${displaystyle x'=xcos heta -ysin heta }$ 与 ${displaystyle y'=xsin heta +ycos heta }$，用矩阵表示为：

${displaystyle {egin{pmatrix}x'\y'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}cos heta &-sin heta \sin heta &cos heta end{pmatrix}}{egin{pmatrix}x\yend{pmatrix}}}$

缩放

缩放（反矩阵）公式为 ${displaystyle x'=s_{x}cdot x}$ 与 ${displaystyle y'=s_{y}cdot y}$，用矩阵表示为：

${displaystyle {egin{pmatrix}x'\y'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}s_{x}&0\0&s_{y}end{pmatrix}}{egin{pmatrix}x\yend{pmatrix}}}$

切变

切变有两种可能的形式：

平行于 x 轴的切变为 ${displaystyle x'=x+ky}$ 与 ${displaystyle y'=y}$，矩阵表示为：

${displaystyle {egin{pmatrix}x'\y'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}1&k\0&1end{pmatrix}}{egin{pmatrix}x\yend{pmatrix}}}$

平行于 y 轴的切变为 ${displaystyle x'=x}$ 与 ${displaystyle y'=y+kx}$，矩阵表示为：

${displaystyle {egin{pmatrix}x'\y'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}1&0\k&1end{pmatrix}}{egin{pmatrix}x\yend{pmatrix}}}$

反射

为了沿经过原点的直线反射向量，假设（u_x, u_y）为直线方向的单位向量。变换矩阵为：

${displaystyle {egin{pmatrix}x'\y'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}2u_{x}^{2}-1&2u_{x}u_{y}\2u_{x}u_{y}&2u_{y}^{2}-1end{pmatrix}}{egin{pmatrix}x\yend{pmatrix}}}$

不经过原点的直线的反射是仿射变换，而不是线性变换。

若一座标（x, y）沿直线 ${displaystyle y=( an heta )cdot x}$ 进行反射，则其影像（x', y'）可用以下公式求得：

${displaystyle {egin{pmatrix}x'\y'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}cos 2 heta &sin 2 heta \sin 2 heta &-cos 2 heta end{pmatrix}}{egin{pmatrix}x\yend{pmatrix}}}$

正投影

为了将向量正投影到一条经过原点的直线，假设（u_x, u_y）是直线方向的单位向量，变换矩阵为：

${displaystyle {egin{pmatrix}x'\y'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}end{pmatrix}}{egin{pmatrix}x\yend{pmatrix}}}$

跟反射一样，正投影到一条不经过原点的直线的变换是仿射变换，而不是线性变换。

平行投影也是线性变换，也可以用矩阵表示。但是透视投影不是线性变换，必须用齐次坐标表示。

仿射变换

为了表示仿射变换，需要使用齐次坐标，即用三维向量（x, y, 1）表示二维向量，对于高维来说也是如此。按照这种方法，就可以用矩阵乘法表示变换。${displaystyle x'=x+t_{x}}$; ${displaystyle y'=y+t_{y}}$变为

${displaystyle {egin{pmatrix}x'\y'\1end{pmatrix}}={egin{pmatrix}1&0&t_{x}\0&1&t_{y}\0&0&1end{pmatrix}}{egin{pmatrix}x\y\1end{pmatrix}}}$

在矩阵中增加一列与一行，除右下角的元素为1外其它部分填充为0，通过这种方法，所有的线性变换都可以转换为仿射变换。例如，上面的旋转矩阵变为

${displaystyle {egin{pmatrix}cos heta &-sin heta &0\sin heta &cos heta &0\0&0&1end{pmatrix}}}$

通过这种方法，使用与前面一样的矩阵乘积可以将各种变换无缝地集成到一起。

当使用仿射变换时，齐次坐标向量w从来不变，这样可以把它当作为1。但是，透视投影中并不是这样。

透视投影

三维计算机图形学中另外一种重要的变换是透视投影。与平行投影沿着平行线将物体投影到图像平面上不同，透视投影按照从投影中心这一点发出的直线将物体投影到图像平面。这就意味着距离投影中心越远投影越小，距离越近投影越大。

最简单的透视投影将投影中心作为坐标原点，z = 1作为图像平面，这样投影变换为${displaystyle x'=x/z}$; ${displaystyle y'=y/z}$，用齐次坐标表示为：

${displaystyle {egin{pmatrix}x_{c}\y_{c}\z_{c}\w_{c}end{pmatrix}}={egin{pmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&1&0end{pmatrix}}{egin{pmatrix}x\y\z\1end{pmatrix}}}$

(这个乘法的计算结果是${displaystyle (x_{c},y_{c},z_{c},w_{c})}$ = ${displaystyle (x,y,z,z)}$。）

在进行乘法计算之后，通常齐次元素w_c并不为1，所以为了映射回真实平面需要进行齐次除法，即每个元素都除以w_c：

${displaystyle {egin{pmatrix}x'\y'\z'end{pmatrix}}={egin{pmatrix}x_{c}/w_{c}\y_{c}/w_{c}\z_{c}/w_{c}end{pmatrix}}}$

更加复杂的透视投影可以是与旋转、缩放、平移、切变等组合在一起对图像进行变换。

来源： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%98%E6%8D%A2%E7%9F%A9%E9%98%B5