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Description.
称一个数列 \(\{a_i\}\) 是好的，当且仅当 \(\exists \{b_i\}\)，满足
- \(\forall i\in[1,n],b_i\ge 0\)
- \(\{a_i+b_i\}\) 是个排列。
一个数列的权值是所有数出现次数的 \(k\) 次方和。
求所有好序列的权值和。
\(n\le 10^9,k\le 10^5\)
Solution.
国 外 计 数 水 平
首先考虑什么样的数列是好的。
一个判断方式是从前往后遍历，对于每个数不断 \(+1\)，直到不在前面出现过。
这个判断方式显然是正确的，考虑这个的意义。
发现和这题很类似。
考虑相同的套路，增加一个虚点，值域调成 \([1,n+1]\)，填到 \(n+1\) 就不合法。
现在这个环上只有一个 \(n+1\) 没有被填上，但是我们要统计权值和。
如果把这个环循环移位 \(0,1,\cdots,n\)，那肯定包含了所有合法序列。
而同时，每种颜色的贡献也相同的，答案是一种颜色的贡献 \(\times (n+1)\times \frac 1{n+1}\)。
而一种颜色的贡献是 \(\sum_{i=0}^n\dbinom nin^{n-i}i^k\)，相当于枚举颜色其他随便选。
然后就推式子，如下。
\[\begin{aligned}
&=\sum_{i=0}^n\dbinom nii^kn^{n-i}\\
&=\sum_{i=0}^n\dbinom nin^{n-i}\sum_{j=0}^{\min(k,i)}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}i^{\underline j}\\
&=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\sum_{i=j}^n\frac{n!}{i!(n-i)!}n^{n-i}\frac{i!}{(i-j)!}\\
&=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\frac{n!}{(n-j)!}\sum_{i=j}^n\frac{(n-j)!}{(n-i)!(i-j)!}n^{n-i}\\
&=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\frac{n!}{(n-j)!}\sum_{i=j}^n\dbinom{n-j}{n-i}n^{n-i}\\
&=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\frac{n!}{(n-j)!}\sum_{i=0}^{n-j}\dbinom{n-j}{i}n^{i}\\
&=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\frac{n!}{(n-j)!}(n+1)^{n-j}\\
\end{aligned}
\]
然后就做完了。
Coding.
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哈哈不给