P2030 - 【BJOI2006】狼抓兔子
Description
现在小朋友们最喜欢的"喜羊羊与灰太狼",话说灰太狼抓羊不到，但抓兔子还是比较在行的，而且现在的兔子还比较笨，它们只有两个窝，现在你做为狼王，面对下面这样一个网格的地形：
左上角点为(1,1),右下角点为(N,M)(上图中N=4,M=5).有以下三种类型的道路
1:(x,y)<==>(x+1,y)
2:(x,y)<==>(x,y+1)
3:(x,y)<==>(x+1,y+1)
道路上的权值表示这条路上最多能够通过的兔子数，道路是无向的.
左上角和右下角为兔子的两个窝，开始时所有的兔子都聚集在左上角(1,1)的窝里，现在它们要跑到右下解(N,M)的窝中去，狼王开始伏击这些兔子.当然
为了保险起见，如果一条道路上最多通过的兔子数为K，狼王需要安排同样数量的K只狼，才能完全封锁这条道路，你需要帮助狼王安排一个伏击方案，使得在将兔
子一网打尽的前提下，参与的狼的数量要最小。因为狼还要去找喜羊羊麻烦.
Input
第一行为N,M.表示网格的大小，N,M均小于等于1000.接下来分三部分 第一部分共N行，每行M-1个数，表示横向道路的权值.
第二部分共N-1行，每行M个数，表示纵向道路的权值. 第三部分共N-1行，每行M-1个数，表示斜向道路的权值. 输入保证不超过10M
Output
输出一个整数，表示参与伏击的狼的最小数量.
Sample Input
3 4
5 6 4
4 3 1
7 5 3
5 6 7 8
8 7 6 5
5 5 5
6 6 6
Sample Output
14
首先的想法是将每条边都连上跑最大流，但是边数太多，肯定会超时。所以要注意到这个图的一个特殊的性质，这是一个平面图。
平面图的定义：平面图是可以画在平面上并且使得不同的边可以互不交叠的图。
平面图的面＝边数－点数＋２
构造对偶图：G的对偶图G*构造如下：
在G的每一个面Ri中放置一个顶点vi*.设e为G的一条边，若e为G的面Ri与Rj的公共边界上，则作边e*=(vi*,vj*)与e相交，且不与其他任何边相交。若e为G中的桥且在面Ri的边界上，则作以vi*为端点的环e*=(vi*,vj*)。
平面图最小割定理：
先在源点与汇点之间连一条虚拟边，然后构造对偶图，S*为那个虚拟边与实边形成的面，T*为那个最大面，然后构造对偶图。
于是有一条重要的定理：原图的最大流等于对偶图的S*到T*的最短路。
证明：
首先，最大流=最小割。
观察对偶图与原图的关系发现，S*到T*直间的每一条路径都会形成一个割，这个割 的容量就等于路径上的权值和。
所以最短路径即为最小割。
这个用SPFA或者堆dijkstra求出即可。
#include<set> #include<map> #include<queue> #include<stack> #include<ctime> #include<cmath> #include<string> #include<vector> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define maxn 1000*1000 using namespace std; struct data{ int nex,to,w; }e[maxn*6+10]; int head[maxn],edge=0,dis[maxn],vis[maxn]; void add(int from,int to,int w){ e[++edge].nex=head[from]; e[edge].w=w; e[edge].to=to; head[from]=edge; } queue<int>q; void SPFA(int s,int t){ memset(dis,127,sizeof(dis)); q.push(s); dis[s]=0;vis[s]=1; while(!q.empty()){ int u=q.front();q.pop(); vis[u]=0; for(int i=head[u];i;i=e[i].nex){ int v=e[i].to; if(dis[v]>dis[u]+e[i].w){ dis[v]=dis[u]+e[i].w; if(!vis[v]) q.push(v),vis[v]=1; } } } printf("%d",dis[t]); } int main() { freopen("!.in","r",stdin); freopen("!.out","w",stdout); int n,m,x;scanf("%d%d",&n,&m); int s=0,t=2*(n-1)*(m-1)+1; int op=1; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<m;j++){ scanf("%d",&x); int oq=op-(m-1);int oq1,op1; if(oq<=s) oq1=s;else oq1=oq; if(op>=t) op1=t;else op1=op; add(oq1,op1,x);add(op1,oq1,x); op++; } op+=(m-1); } op=m; for(int i=1;i<n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ scanf("%d",&x); int oq=op-m;int oq1,op1; if(oq<=2*(i-1)*(m-1)) oq1=t;else oq1=oq; if(op>2*i*(m-1)) op1=s;else op1=op; add(op1,oq1,x);add(oq1,op1,x); op++; } op+=(m-2); } op=1; for(int i=1;i<n;i++){ for(int j=1;j<m;j++){ scanf("%d",&x); add(op,op+m-1,x);add(op+m-1,op,x); op++; } op+=(m-1); } SPFA(s,t); return 0; }