数论中有群、环和域的概念
A1：加法的封闭性：如果a和b属于G，则a+b也属于G；
A2：加法结合律：对G中的任意元素a,b,c，a+(b+c) = (a+b)+c；
A3：加法单位元：G中存在一个元素0，使得对于G中的任意元素a，有a+0=a；
A4：加法逆元：对于G中的任意元素a，G中一定存在一个元素a，使得a+(-a) = 0；
A5：加法交换律：对于 G中任意元素a和b，有a+b = b+a；
M1：乘法的封闭性：如果a和b属于G，则ab也属于G；
M2：乘法结合律：对于 G中任意元素a，b，c，有a(bc) = (ab)c；
M3：乘法分配律：对于G中的任意元素a，b，c，有a(b+c) = ab+ac；
M4：乘法交换律：对于G中任意元素a，b，有ab = ba；
M5：乘法单位元：对于G中任意元素a，在G中存在一个元素1，使得a1 = a；
M6：无零因子：对于 G中的元素a，b，若ab = 0，则必有a=0或b=0；
M7：乘法逆元：如果a属于G，且a不为0，则G中存在一个元素a-1，使得aa-1 = a-1a = 1；
满足A1--A4称为群
满足A1--A5称为可交换群
满足A1--M3称为环
满足A1--M4称为可交换环
满足A1--M6称为整环
满足A1--M7称为域
详细说明见下面的博客：
https://www.cnblogs.com/edward-bian/p/4794280.html?utm_source=tuicool