前面我们介绍了基于卷积神经网络的图像风格迁移，利用一张content image 和 style image，可以让最终的图像既保留content image的基本结构，又能显示一定的style image的风格，今天我们介绍另外一篇类似的文章： Combining Markov Random Fields and Convolutional Neural Networks for Image Synthesis，这篇文章与之前的 Image Style Transfer Using Convolutional Neural Networks 的区别在于引入了 Markov Random Fields， 不再是像素的一一对应了，利用MRF，可以将feature maps 分成很多的patch，找 patch之间的匹配。
给定一张content image xc∈Rwc×hc 以及一张 style image xx∈Rws×hs，我们希望合成一张图像 x∈Rwc×hc, 将 style image的风格迁移到 content image 的 layout，并且利用 MRF 使得合成图像的 local patchs 与 style image 的类似，我们可以建立如下的能量函数：
E=Es(Φ(x),Φ(xs))+α1Ec(Φ(x),Φ(xc))+α2Υ(x)
我们需要求解上面的优化函数得到最优的 x
x=argminxEs(Φ(x),Φ(xs))+α1Ec(Φ(x),Φ(xc))+α2Υ(x)
Es 表示 style loss function，Φ(x) 表示神经网络中某些层里 feature maps 的一个集合，Ec 表示 content loss function，Υ(x) 是一个正则化选项，用来平滑最终的合成图像。接下来，我们可以看看每一个 loss function 的具体表达式：
Es(Φ(x),Φ(xs))=∑i=1m∥∥Ψi(Φ(x))−ΨNN(i)(Φ(xs))∥∥2
这里 m 表示Ψ(Φ(x)) 的基数，即local patch 的个数， Ψi(Φ(x)) 表示 Φ(x) 的一个local patch，而 ΨNN(i)(Φ(xs)) 表示 Φ(xs) 中 与 patch Ψi(Φ(x)) 最匹配的一个 patch，即
NNi=argminj=1,2...msΨi(Φ(x))⋅Ψj(Φ(xs))|Ψi(Φ(x))|⋅|Ψj(Φ(xs))|
简单来说，就是将feature maps 的集合 Φ(x) 生成很多local patch，这些 local patch 组成一个 patch 的集合 Ψ(Φ(x))， 在这个 patch 的集合中，每一个patch Ψi(Φ(x)) 在 Ψ(Φ(xs)) 都有一个最佳的匹配，Es(Φ(x),Φ(xs)) 计算的不是 pixel 之间的平方差，而是 patch 与 patch 之间的平方差，所有比起之前的图像合成算法，这个方法利用了MRF, 去寻找patch 与 patch 之间的关系，这样可以更好的保留局部的信息，但是算法也变得更加复杂。
content loss function 和之前的一样，计算feature maps 之间的欧氏距离:
Ec(x)=∥Φ(x)−Φ(xc)∥2
正则化选项的表达式如下：
Υ(x)=∑i,j((xi,j+1−xi,j)2+(xi+1,j−xi,j)2)
这个相当于在水平方向和垂直方向做差值。
将这三项结合起来，利用BP算法，求最终的合成图像 x.