leetcode 96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
           /     /      /       
     3     2     1      1   3      2
    /     /                        
   2     1         2                 3

dp解题的代码太简洁了；
dp[n]:表示长度为n的序列能组成的不同二叉树个数,且dp[0] = dp[1] = 1;
f(i, n) 表示以i为根节点，由长度为n的序列能组合成的不同二叉树的个数
可以知道dp[n] = f(1, n) + f(2, n) + f(3, n) +... + f(n, n);
现在的问题就转换为如何求f(i, n);
用[1,2,3,4,5,6,7]来解释， 以f(3, 7)为例：
对于一个序列，如果根节点确定了，能构成的不同的二叉树就由其不同的左子树和右子树的个数确定
对于左子树就是求dp([2]; 对于右子树，虽然是4,5,6,7的排列，但是其能组成的二叉树和1,2,3,4的个数是相同的，我们只管能组成的二叉树的个数，而不去管具体的二叉树是怎么样的，所以右子树的个数是dp[n-3];
由此可得f(i,, n) = dp[i-1]*dp[n-i];
所以能得到新的关系式：dp[n] = dp[0]*dp[n-1] + dp[1]*dp[n-2] + ... + dp[n]*dp[0]

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n+1);
        dp[0]=1; dp[1]=1;
        for(int i=2; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=i; j++)
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
        return dp[n];
    }
};