前言
我们的LCA是谁呢...
正文
LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。 ———摘自百度百科
什么意思呢？上图
如你所见，这就是一棵超级难看的树了！
在这棵树中，(3,4)的LCA就是(2)，(8,7)的LCA就是(7)。
了解了LCA的概念之后，就要来思考怎么来求了。
在初学OI之时，我就已经见过LCA的板子题了，但是它的点数只有不到1k，所以我们考虑使用暴力解法，思路如下：
对于第一个点，可以一直递归的访问父亲结点直到根结点，用一个(set)来记录第一个点到根节点路径上的点。然后对于第二个点，也递归的访问父亲结点，遇到的第一个在(set)中出现过的点就是他们的公共祖先。
怎么样，简单吗？
如果点数与边数的范围都到了50W，还能用暴力解法进行解决吗？显然不行。暴力解法的时间复杂度过高，达到了(O(n^2))，每次进行的查询太花费时间，怎么办？
回想一下暴力算法的步骤，跳跃深度较低的点到根节点并记录，跳跃深度较高的点并查询。这其中跳跃时的步长都是1，所以花费的时间过多。我们可以从此处着手进行优化。
倍增算法应运而生。
这又是一个跟(2)脱不了干系的算法，所谓倍增，就是要以2的倍数进行操作。即每次跳动的步长都以2的倍数来增大。即每次的步长为：(1,2,4,8,16,32,...)。
这样做又会出现一个问题。假如我需要跳动的步长为5，我会选择先跳1，再跳2，但是4又高了，需要退回2步。这样出现的“反悔”的跳法是极其浪费时间和难以实现的。所以我们再对倍增进行一些优化吧。
这次的优化，让跳跃的步长从大往下排列，即：(...,32,16,8,4,2,1)。这样的话，选择了一个数，剩下的部分也可以用同样的原理进行拆分，不会出现选多了的情况（只要选择的这个数不大于剩下的步数）
以二进制再形象地说一次吧。
((5)_2=101)
所以从低位开始的话，到第二位的时候是难以判断是否需要取的，因为1+2<5，看上去是可行的。但如果从高位开始，第二位的取舍就很清晰了，因为4+2>5，所以不选。
经过这样的优化，跳跃的次数被大大的减少了，时间复杂度可以降为(O(nlogn))。
接下来就是代码实现的问题。
想要实现这个算法，首先我们要记录各个点的深度和他们(2^i)级的的祖先，用数组(dep)表示每个节点的深度，(fa[i][j])表示节点(i)的(2^j)级祖先。
void dfs(int now,int last)
{
dep[now]=dep[last]+1;
fa[now][0]=last;
for(int i=1;(1<<i)<=dep[now];i++)
fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];
for(int i=head[now];i;i=e[i].next)
if(e[i].t!=last)dfs(e[i].t,now);
}
然后就是找LCA。
每次跳跃步长的起始指数用(log2(n))，可以提前处理一下。
for(int i=1;i<=n;i++)
p[i]=p[i-1]+(1<<p[i-1]==i);
接下来就是倍增LCA了，我们先把两个点提到同一高度，再统一开始跳。
但我们在跳的时候不能直接跳到它们的LCA，因为这可能会误判。找到的虽然是公共祖先，但不一定最近。
所以我们只跳到LCA的下面一层，再输出它们的父亲就可以了。
int lca(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
while(dep[x]>dep[y]){x=fa[x][p[dep[x]-dep[y]]-1];}
if(x==y)return x;
for(int k=p[dep[x]];k>=0;k--)
if(fa[x][k]!=fa[y][k])
x=fa[x][k],y=fa[y][k];
return fa[x][0];
}
ov.
完整代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-')
f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
vector<int> g[500010];
int dep[500010],fa[500010][25],head[500010],tot,p[500010];
struct node{int t,next;}e[500010<<1];
void add(int u,int v){e[++tot]=(node){v,head[u]},head[u]=tot;}
void dfs(int now,int last)
{
dep[now]=dep[last]+1;
fa[now][0]=last;
for(int i=1;(1<<i)<=dep[now];i++)
fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];
for(int i=head[now];i;i=e[i].next)
if(e[i].t!=last)dfs(e[i].t,now);
}
int lca(int x,int y)
{
if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
while(dep[x]>dep[y]){x=fa[x][p[dep[x]-dep[y]]-1];}
if(x==y)return x;
for(int k=p[dep[x]];k>=0;k--)
if(fa[x][k]!=fa[y][k])
x=fa[x][k],y=fa[y][k];
return fa[x][0];
}
int main()
{
int n,m,s=1/*根节点*/,x,y;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<n;i++)
{
x=read(),y=read();
add(x,y);
add(y,x);
}
dfs(s,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
p[i]=p[i-1]+(1<<p[i-1]==i);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
x=read(),y=read();
printf("%d
",lca(x,y));
}
return 0;
}