CF 643 E. Bear and Destroying Subtrees

E. Bear and Destroying Subtrees

http://codeforces.com/problemset/problem/643/E

题意：

　　Q个操作。

1. 加点，在原来的树上加一个点，之后还是一棵树，初始时一个点。
2. 让一棵子树内每条边有1/2的概率消失，然后的深度为：剩余的与子树的根联通的点中深度最大的。询问假如攻击这个点，期望深度。

分析：

　　可以枚举一个深度，计算概率。

　　f[x][i]表示以x为根的子树中，深度为<=x的概率。那么答案就是$sum_{h=1}^{MAX\_H}h imes(f[x][h]-f[x][h-1])$。

　　考虑如何求出f数组：直接将所有子树小于等于h的概率相乘，$f[x][h]=prod_{v=son_x}(frac{1}{2}+frac{1}{2}f[v][h-1])$

　　考虑如何维护f数组，如果加入一个点，那么只会影响到父节点到根的路径，而且每个点只会影响一个，即距离它为k的点（设为y），只有f[y][k-1]受到影响。因为增加一个点后，它的父节点的0会受到影响（乘1/2），那么父节点的父节点的1就受到影响，以此类推。还可以理解为：因为增加了一个点，y的最长路径不是y-1了， 那么概率也不是1了，因为如果长度为k的概率要求新增的这个点的边断开才行。y的其他的值不受影响吗？f[y][k-2]要求距离它k-1的点必须断开，距离大于k-1的剩下的随便了。 那么，直接暴力修改这条路径即可。每个点除以原来的f[v][h-1]，乘以新的f[v][h-1]。

　　由于路径长度是很长的（可以5e5），直接暴力修改会T。

　　发现如果路径很长之后，它的概率就会非常小，$frac{1}{2^h}$，所以只需确定一个更新的深度，这个深度不会影响精度，然后每次修改这些个点即可。

　　具体题解里说明 http://codeforces.com/blog/entry/44754

记录一下当时的想法：f[x][i]为x子树内深度为i的概率。发现转移起来真是麻烦。

首先可以然后它的一个子节点为i，然后其他的节点为0~i，然后，相乘，再除以2。（或者每个点只乘以左边的，那么就不需要除以2了）。然后就需要在记录前缀和，就成了和上面差不多了。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cctype>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#define fi(s) freopen(s,"r",stdin);
#define fo(s) freopen(s,"w",stdout);
using namespace std;
typedef long long LL;

inline int read() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*10+ch-'0';return x*f;
}

const int N = 500005;
const int H = 60;

double f[N][H+2];
int fa[N], n = 1;

void add(int x) {
    fa[++n] = x;
    for (int i=0; i<=H; ++i) f[n][i] = 1;
    double t1 = f[x][0], t2;
    f[x][0] *= 0.5;    
    for (int i=1; i<=H; ++i, x=fa[x]) {        
        int p = fa[x]; if (!p) break;
        t2 = f[p][i];
        f[p][i] = f[p][i] / (0.5 + 0.5 * t1);
        f[p][i] = f[p][i] * (0.5 + 0.5 * f[x][i - 1]);
        t1 = t2;
    }
}
void query(int x) {
    double ans = 0;
    for (int i=1; i<=H; ++i) 
        ans += i * (f[x][i] - f[x][i - 1]);
    printf("%.10lf
",ans);
}
int main() {
    int Q = read();
    for (int i=0; i<=H; ++i) f[1][i] = 1;
    while (Q --) {
        int opt = read(), a = read();
        if (opt == 1) add(a);
        else query(a);
    }
    return 0;
}