Chiitoitsu（期望DP）

题意

总共有\(34\)种麻将牌，每种牌有\(4\)张。初始手牌有\(13\)张牌，相同牌至多出现\(2\)张。

每轮可以从牌堆摸牌，若达成七对子则自摸胡牌，若不然则选择手牌中某张牌并丢弃之。

给定初始手牌，求最优策略下达成七对子的期望轮数。

（题目翻译来源于雨巨的讲解PPT）

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33186/I

数据范围

多组数据\(1 \leq T \leq 10^5\)

思路

期望DP，典型套路是定义一个转移数组\(f\)，表示从该状态到最终状态的期望轮数。

在这里，必须要有的一个状态是当前手里的对子数（或者是单牌数），为了能够计算概率，因此还需要知道牌堆里面还有多少牌，因此另外一个状态表示牌堆中还剩多少牌。

因此，我们用\(f(i, j)\)表示牌堆中还有\(i\)张牌，并且手里有\(j\)个对子时，还需要多少次摸牌才能够胡牌的期望。

在考虑递推式之前，先分析一下最优策略，即我们应该丢弃什么牌。显然，我们应该丢弃单牌，一旦成对了就不再丢弃。因此，我们可以推断，自己手牌中的单牌，在牌堆中一定有\(3\)张，因为只要从牌堆中再拿一张，那么就可以凑成对子了。

现在考虑递推式。\(f(i, j) = p_1 f(i - 1, j) + p_2 f(i - 1, j + 1) + 1\)，第一项表示摸到一张新的单牌，第二项表示可以和已有的单牌凑对。

由于\(p_2\)容易计算，先算\(p_2\)。\(p_2 = \frac{3(13 - 2j)}{i}\)，其中\(13 - 2*j\)表示手上单牌种类。\(p_1 = \frac{i - 3(13-2j)}{i}\)

记忆化搜索即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 150, M = 10, mod = 1e9 + 7;

char s[N];
map<string, int> mp;
ll f[N][M];

ll qmi(ll a, ll b)
{
    ll res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

ll inv(ll x)
{
    return qmi(x, mod - 2);
}

ll dfs(int a, int b)
{
    ll &v = f[a][b];
    if(v >= 0) return v;
    ll t = a - 3 * (13 - 2 * b);
    if(t > 0) {
        ll tmp = inv(a);
        ll p1 = t * tmp % mod, p2 = 3 * (13 - 2 * b) * tmp % mod;
        v = (1 + p1 * dfs(a - 1, b) + p2 * dfs(a - 1, b + 1)) % mod;
    }
    else {
        v = (1 + dfs(a - 1, b + 1)) % mod;
    }
    return v;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    memset(f, -1, sizeof f);
    for(int i = 0; i < N; i ++) f[i][7] = 0;
    for(int cas = 1; cas <= T; cas ++) {
        scanf("%s", s + 1);
        mp.clear();
        for(int i = 1; i <= 13; i ++) {
            string t = "";
            t += s[2 * i - 1], t += s[2 * i];
            mp[t] ++;
        }
        int cnt = 0;
        for(auto p : mp) {
            if(p.second >= 2) cnt ++;
        }
        printf("Case #%d: %lld\n", cas, dfs(123, cnt));
    }
    return 0;
}