3.3 极大线性无关组以及&向量的秩

定义 1：
向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)的一个部分组满足两个条件：
（1）这个部分组线性无关
（2）从向量组的其余向量（如果存在的话）中任取一个向量添进来，得到的新的部分组都线性相关
称为这个向量组的一个极大线性无关组。

设向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)的一个极大线性无关组，不妨设为(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_m)((m leq s))
由于(alpha_j = 0alpha_1 + dots + 0alpha_{j-1} + 1alpha_j + 0alpha_{j+1} + dots + 0alpha_s)
所以极大线性无关组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_m)中每一个向量，都可以由向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性表出。
反之，(alpha_i(1 leq i leq m))可由(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_m)线性表出，而(alpha_j(m < i leq s))由于(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_m,alpha_j)线性相关，因此(alpha_j)可由(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_m)线性表出。
因此(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)每一个向量都可以由(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_m)线性表出。

若向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)每一个向量都可以由向量组(eta_1, eta_2, dots ,eta_r)线性表出。
则称(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)可以由(eta_1, eta_2, dots ,eta_r)线性表出。
如果向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)与向量组(eta_1, eta_2, dots ,eta_r)可以相互线性表出，则称这两个向量组等价。记作({alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s} cong {eta_1, eta_2, dots ,eta_r})

由上述讨论证明了：
命题 1：向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)与它的任意一个极大线性无关组等价。

向量组的等价具有性质：
（1） 每个向量组与自身等价（反身性）
（2） 若({alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s} cong {eta_1, eta_2, dots ,eta_r})，则({eta_1, eta_2, dots ,eta_r}cong {alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s})（对称性）
（3） 若({alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s} cong {eta_1, eta_2, dots ,eta_r})，且({eta_1, eta_2, dots ,eta_r}cong {gamma_1, gamma_2, dots ,gamma_t})，则({alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s}cong {gamma_1, gamma_2, dots ,gamma_t})（传递性）
证明：只需要证线性表出具有传递性。

[alpha_i = sum_{j=1}^ra_{ij}eta_j,i = 1,2,dots ,s \ eta_j = sum_{l = 1}^tb_{jl}gamma_l, j = 1, 2, dots ,r \ egin{aligned} alpha_i &= sum_{j=1}^ra_{ij}sum_{l = 1}^tb_{jl}gamma_l \ &= sum_{j=1}^r(sum_{l = 1}^ta_{ij}b_{jl}gamma_l) \ &= sum_{j=1}^r(sum_{l = 1}^ta_{ij}b_{jl})gamma_l end{aligned} ]

从而(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)可由(gamma_1, gamma_2, dots ,gamma_t)线性表出。

由向量组等价的对称性和传递性得：
命题 2：向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)任意两个极大线性无关组等价

引理 1：
设向量组(eta_1, eta_2, dots ,eta_r)可由向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性表出，如果(r > s)，那么(eta_1, eta_2, dots ,eta_r)一定线性相关。

证明：由已知，

[eta_1 = a_{11}alpha_1 + dots + a_{s1}alpha_s \ cdots \ eta_r = a_{1r}alpha_1 + dots + a_{sr}alpha_s ]

[egin{aligned} x_1eta_1 + dots + x_reta_r &= x_1(a_{11}alpha_1 + dots + a_{s1}alpha_s) + dots + x_r(a_{1r}alpha_1 + dots + a_{sr}alpha_s) \ &= (a_{11}x_1 + dots a_{1r}x_r)alpha_1 \ &+ dots \ &+ (a_{s1}x_1 + dots a_{sr}x_r)alpha_s \ end{aligned} ]

考察齐次线性方程组：

[egin{cases} a_{11}x_1 + dots a_{1r}x_r = 0 \ dots \ a_{s1}x_1 + dots a_{sr}x_r = 0 end{cases} (1) ]

由已知条件，(s < r)，因此方程组(1)必有非零解，
取一个非零整数解（(k_1, k_2, dots ,k_r)）有(k_1eta_1 + k_2eta_2 + dots + k_reta_r = 0)
因此(eta_1, eta_2, dots ,eta_r)线性相关。

推论 1：设向量组(eta_1, eta_2, dots ,eta_r)可由向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性表出，如果(eta_1, eta_2, dots ,eta_r)线性无关，那么(r leq s)

推论 2：等价的线性无关的两个向量组所含向量的个数相等（(r leq s)，又(s leq r)，因此(r = s)）

推论 3：向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。

定义 3：向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)的任意一个极大线性无关组所含向量的个数称为向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)的秩。
只含零向量的向量组的秩规定为(0)。
记为：(rank{alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s})

命题 3：向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性无关(Leftrightarrow)(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)是向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)的一个极大线性无关组。(Leftrightarrow)(rank{alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s} = s)

命题 4：向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，则(rank(I) leq rank(II))
证明：取向量组（I）的极大线性无关组（I'），取向量组（II）的极大线性无关组（II'）。
其中（I）与（I'）等价，（II）与（II'）等价。又（I）可以由（II）线性表出，由传递性（I'）可以由（II'）线性表出，其中（I'）线性无关。
由命题2的推论1，（I'）的向量个数(leq)（II'）的向量个数，因此(rank(I) leq rank(II))

推论 4：若两个向量组等价，那么它们的秩相等。